【2021昭和大学・医】√(n^2-9n+19)^(n^2+5n-14)=1を満たす自然数n

$\sqrt{a}^b=1$ となる $a$，$b$ について

① $a=1$ のとき

$1^b=1$ は常に成立し，$b$ の値は任意

② $b=0$ のとき

$\sqrt{a}^0=1$ は常に成立し，$a$ の値は任意

上の２つはすぐに思いつきますね！しかしここで終わると大きく減点！

差がつく問題です。

あと１つありますが思いつきますか？？

③ $a=-1$ のとき

$\sqrt{-1}=i$ であり，$i^4=i^8=\cdots=i^{4n}=1$ なので

$b$ は $4$ の倍数となればよい．

解答・解説

( ⅰ )　$\sqrt{n^2-9n+19}=1$ のとき

$\sqrt{n^2-9n+19}=1$

$\iff$ $n^2-9n+19=1$

$\iff$ $n^2-9n+18=0$

$\iff$ $(n-3)(n-6)=0$

よって $n=3,6$

( ⅱ )　$n^2+5n-14=0$ かつ $\sqrt{n^2-9n+19}\not=0$ のとき

$n^2+5n-14=0$

$\iff$ $(n+7)(n-2)=0$

$n$ は自然数より，$n=2$

( ⅲ )　$n^2-9n+19=-1$ かつ $n^2+5n-14$ が $4$ の倍数のとき

$n^2-9n+19=-1$

$\iff$ $n^2-9n+20=0$

$\iff$ $(n-4)(n-5)=0$

よって $n=4,5$

ここで，

$n=4$ のとき $n^2+5n-14=22$ で $4$ の倍数でないため不適

$n=5$ のとき $n^2+5n-14=36$ で $4$ の倍数となり適する

( ⅰ )〜( ⅲ ) より $n=2,3,5,6$