【2021昭和大学・医】√(n^2-9n+19)^(n^2+5n-14)=1を満たす自然数n

\(\sqrt{a}^b=1\) となる \(a\)，\(b\) について

① \(a=1\) のとき

\(1^b=1\) は常に成立し，\(b\) の値は任意

② \(b=0\) のとき

\(\sqrt{a}^0=1\) は常に成立し，\(a\) の値は任意

上の２つはすぐに思いつきますね！しかしここで終わると大きく減点！

差がつく問題です。

あと１つありますが思いつきますか？？

③ \(a=-1\) のとき

\(\sqrt{-1}=i\) であり，\(i^4=i^8=\cdots=i^{4n}=1\) なので

\(b\) は \(4\) の倍数となればよい．

解答・解説

( ⅰ )　\(\sqrt{n^2-9n+19}=1\) のとき

\(\sqrt{n^2-9n+19}=1\)

\(\iff\) \(n^2-9n+19=1\)

\(\iff\) \(n^2-9n+18=0\)

\(\iff\) \((n-3)(n-6)=0\)

よって \(n=3,6\)

( ⅱ )　\(n^2+5n-14=0\) かつ \(\sqrt{n^2-9n+19}\not=0\) のとき

\(n^2+5n-14=0\)

\(\iff\) \((n+7)(n-2)=0\)

\(n\) は自然数より，\(n=2\)

( ⅲ )　\(n^2-9n+19=-1\) かつ \(n^2+5n-14\) が \(4\) の倍数のとき

\(n^2-9n+19=-1\)

\(\iff\) \(n^2-9n+20=0\)

\(\iff\) \((n-4)(n-5)=0\)

よって \(n=4,5\)

ここで，

\(n=4\) のとき \(n^2+5n-14=22\) で \(4\) の倍数でないため不適

\(n=5\) のとき \(n^2+5n-14=36\) で \(4\) の倍数となり適する

( ⅰ )〜( ⅲ ) より \(n=2,3,5,6\)