【1993京都大学】次数決定f(x)が定数であることの証明

考え方

\(f(x)\) が \(1\) 次式以上の整式であると仮定

つまり

\(f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\)  ( \(n≧1\)，\(a_{n}\not=0\) )

とおいて，条件式から \(x^n\)，\(x^{n-1}\) の係数を比較することで矛盾を導きましょう！

解答・解説

整式 \(f(x)\) が定数ではないと仮定する．このとき，

\(f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\)  ( \(n≧1\)，\(a_{n}\not=0\) )

とおける．条件式から

(左辺) \(=\displaystyle\int^{x+1}_{x}(a_{n}t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_{1}t+a_{0})dt\)

\(=\Bigl[\displaystyle\frac{a_{n}t^{n+1}}{n+1}+\displaystyle\frac{a_{n-1}t^n}{n}+\cdots+a_{0}t\Bigr]^{x+1}_{x}\)

\(=\displaystyle\frac{a_{n}}{n+1}\left\{\left(x+1\right)^{n+1}-x^{n+1}\right\}+\displaystyle\frac{a_{n-1}}{n}\left\{(x+1)^n-x^n\right\}+\cdots\)

\(=\displaystyle\frac{a_{n}}{n+1}\left\{(n+1)x^n+\displaystyle\frac{(n+1)n}{2}x^{n-1}+\cdots\right\}\)

\(+\displaystyle\frac{a_{n-1}}{n}\left\{nx^{n-1}+\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}+\cdots\right\}+\cdots\)

\(=a_{n}x^n+\left(\displaystyle\frac{na_{n}}{2}+a_{n-1}\right)x^{n-1}+\)( \(n-2\) 次以下の項 )

また，

(右辺) \(=ca_{n}x^n+ca_{n-1}x^{n-1}+\cdots+ca_{1}x+ca_{0}\)

(左辺)，(右辺)の \(x^n\) と \(x^{n-1}\)の係数を比較すると

\(a_{n}=ca_{n}\) ・・・①

\(\displaystyle\frac{na_{n}}{2}+a_{n-1}=ca_{n-1}\) ・・・②

\(a_{n}\not=0\) より①から \(c=1\)

これを②に代入すると \(na_{n}=0\)

しかしこれは，\(n≧1\)，\(a_{n}\not=0\) に反する．

したがって，\(f(x)\) は定数でなければいけない．

ここで \(f(x)=A\) (定数) とすると

\(\displaystyle\int^{x+1}_{x}f(t) dt=\displaystyle\int^{x+1}_{x}A dt=A=f(x)\) であるから，

\(c=1\) とすると確かに等式は成立．

ゆえに，\(f(x)\) は定数である．