スポンサーリンク

【漸化式15】分数型(発展)重解タイプ|解法パターン|数学B数列

数学(大学入試問題)

【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ.

15.\(a_{1}=8\) , \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}-9}{a_{n}-5}\)

漸化式は完全暗記もの!数学が得意不得意に関わらず,ただただパターンを覚えてなければできるようになりません!

その中でも基本として押さえてほしい13パターンは「

にまとめています。参考にしてください。

ここでは、基礎パターンがしっかりと身についている方に向けて、発展的な漸化式の紹介です。

パターン15.分数型(発展)重解タイプ

\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{ra_{n}+s}{pa_{n}+q}\)

👉 \(x=\displaystyle\frac{rx+s}{px+q}\) を満たす重解 \(x\) が \(\alpha\)  となるとき,

\(a_{n+1}-\alpha=\displaystyle\frac{ra_{n}+s}{pa_{n}+q}-\alpha\)

を計算し,逆数をとる(※\(a_{n}≠\alpha\)を示す必要あり)

※ 一般的には誘導形式になることが多い.

※ 異なる \(2\) つの実数解となるときは「こちら

解答・解説

15.\(a_{1}=8\) , \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}-9}{a_{n}-5}\)

\(a_{n}\) , \(a_{n+1}\) を \(x\) とおいた方程式を解くことは覚えておこう!

\(x=\displaystyle\frac{x-9}{x-5}\)

\(x^2-6x+9=0\) \(\iff\) \((x-3)^2=0\)

よって \(x = 3\)

ここまでは記述しなくて良い!

\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}-9}{a_{n}-5}\) の両辺から \(3\) を引く

\(a_{n+1}-3=\displaystyle\frac{a_{n}-9}{a_{n}-5}-3=\displaystyle\frac{-2(a_{n}-3)}{a_{n}-5}\) ・・・①

ここで,\(a_{n+1}=3\) と仮定する.

①より,\(0=\displaystyle\frac{-2(a_{n}-3)}{a_{n}-5}\)

よって,\(a_{n}=3\) となり

\(a_{n+1}=a_{n}=a_{n-1}=\cdots=a_{1}=3\) となるが,

これは \(a_{1}=8\) に矛盾する.

したがって,\(a_{n}≠3\)

①において逆数をとると,

\(\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}-3}=\displaystyle\frac{a_{n}-5}{-2(a_{n}-3)}=\displaystyle\frac{(a_{n}-3)-2}{-2(a_{n}-3)}\) より

\(\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}-3}=\displaystyle\frac{1}{a_{n}-3}-\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{a_{n}-3}\) とおくと,

\(b_{n+1}=b_{n}-\displaystyle\frac{1}{2}\)

数列 \(\left\{ b_{n} \right\}\) は,初項が \(b_{1}=\displaystyle\frac{1}{a_{1}-3}=\displaystyle\frac{1}{5}\) , 公差が \(-\displaystyle\frac{1}{2}\) の等差数列であるから,

\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{5}+(n-1)\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{-5n+7}{10}\)

したがって,\(\displaystyle\frac{1}{a_{n}-3}=\displaystyle\frac{-5n+7}{10}\)

逆数をとって,

\(a_{n}-3=\displaystyle\frac{10}{-5n+7}\)

\(a_{n}=\displaystyle\frac{15n-31}{5n-7}\)

【漸化式14】分数型(発展)2実数解タイプ|解法パターン|数学B数列
漸化式の解き方・解法まとめ。分数型の発展的な型(2実数解タイプ)の一般項の求め方。基本形へ帰着させるための手順。有名頻出・重要問題。定期考査、大学入試共通テスト、2次試験対策。
【漸化式】有名・頻出13パターン解法まとめ|数学B数列
等差・等比・階差・隣接二項間特性方程式の基礎基本から、分数・三項間・和と一般項・数学的帰納法型など,有名頻出重要パターンの解法のまとめ。漸化式は完全暗記であるため、しっかりと解法をマスターしよう!数学B:数列(漸化式)。2次試験・共通テスト(センター試験)・定期考査対策。

コメント

タイトルとURLをコピーしました