【関数の微分可能性と連続性】「微分可能⇒連続」の逆は偽の反例(具体例)

【島根大学】

$f(x)=\begin{cases}0 (x=0)\\x\sin \displaystyle\frac{1}{x} (x\not=0)\end{cases}$ , $g(x)=\begin{cases}0 (x=0)\\x^2\sin \displaystyle\frac{1}{x} (x\not=0)\end{cases}$ とする．

(１)　 $f(x)$ は $x=0$ で連続であるが， $f^{\prime}(0)$ は存在しないことを示せ．

(２)　 $g^{\prime}(0)$ は存在するが， $g^{\prime}(x)$ は $x=0$ で不連続であることをしめせ．

関数の連続性について
関数の微分可能性
関数の連続性と微分可能性について
解答・解説
1. (１)
2. (２)

関数の連続性について

$a$ を関数 $f(x)$ の定義域に属する値とするとき，関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であるとき

極限値 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ が存在する
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$ が成り立つ

連続関数となる条件｜大阪府立大学

関数の連続性とはについて確認。そして大阪府立大学の過去問を用いた例題演習。無限等比数列の極限を利用して関数f(x)を区間分けされた形で表す。x=aで連続であるために、右側極限、左側極限、f(a)が存在、一致すること条件を考える。数学Ⅲ：微分(連続関数)

関数の微分可能性

ある関数 $f(x)$ において，微分係数

$f^{\prime}(a)=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

が存在するとき，

$f(x)$ は $x=a$ において微分可能である

連　続・・・つながっている

微分可能・・・滑らかにつながっている

というざっくりとしたイメージを持っておきましょう！

関数の連続性と微分可能性について

「微分可能である」⇒「連続である」

が成り立つ．ただし逆は成り立たない．

逆が成り立たない反例については，(１)を参考に！

解答・解説

(１)

$f(0)=0$ より，

$0≦|f(h)-f(0)|=|f(h)|=\left|h\sin h\right|≦|h|$

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}|h|=0$ より，はさみうちの原理から

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} |f(h)-f(0)|=0$

よって， $\displaystyle\lim_{h\rightarrow a}f(x)=f(a)$

ゆえに， $f(x)$ は $x=a$ で連続である．

次に

$\displaystyle\frac{f(h)-f(0)}{h-0}=\displaystyle\frac{f(h)}{h}=\displaystyle\frac{1}{h}\cdot h\sin \displaystyle\frac{1}{h}=\sin \displaystyle\frac{1}{h}$ ( $h\not=0$ )

において， $\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\sin\displaystyle\frac{1}{h}$ は振動するため有限な値に収束しない．

つまり， $f^{\prime}(0)$ は存在しない．

(２)

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{g(h)-g(0)}{h}=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{g(0)}{h}=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}h\sin\displaystyle\frac{1}{h}$

(１)より

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{g(h)-g(0)}{h}=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}f(h)=f(0)=0$

よって， $g^{\prime}(0)$ は存在する．

$g^{\prime}(x)=\begin{cases}0(x=0)\\2x\sin \displaystyle\frac{1}{x}-\cos\displaystyle\frac{1}{x}(x\not=0)\end{cases}$

$x\rightarrow 0$ のとき，(１)より $2x\sin \displaystyle\frac{1}{x}\rightarrow 0$ となるが，

$\cos \displaystyle\frac{1}{x}$ は振動するため， $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}g^{\prime}(x)$ は存在しない．

つまり， $g^{\prime}(x)$ は $x=0$ で不連続である．