【2次関数・有名問題】すべて・ある実数に対してf(x)>g(x)の成立条件

考え方・方針

(1)について

(1) の問題では、$f(x)$、$g(x)$ ともに、共通の値 $x$ を代入するので、下の図①のようになれば良い．逆に、下図の図①－2のような形になると、(1)の条件は満たさないことになります．

(1)の問題においては、「すべての実数 $x$ に対して $f(x)-(g(x)>0$ 」が成り立つ条件を考えていきます．

下記のポイントは、様々な分野で利用できますので、今回の問題に関わらず、しっかりとおさえておいて欲しいポイントです！

例えば上図のような $y=f(x)$ を考える．

「ある範囲において $f(x)≧0$」であるとは、

「ある範囲で $y=f(x)$ が $x$ 軸より上側にある 」

と言う状態を表す．

「ある範囲で $y=f(x)$ が $x$ 軸より上側にある 」ことを言うためには、

「$y=f(x)$ の最小値が $x$ 軸より上側にある」ことが言えればよい．

(2)、(3)について

一方で(2)、(3)の問題では、(1)と違い、$f(x)$、$g(x)$ に異なる値を代入することになります．

さらに(2)では「すべて」の値に対して、(3)では「ある」値に対してであることに注意すると、

(2)は図②、(3)は図③のような状況になればよい．

それぞれの図①～③の状況を言葉で表すと、

解答

(1)　解答

$F(x)=f(x)-g(x)$ とおく．

$F(x)=2x^2-2x+3a+4=2\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+3a+\displaystyle\frac{7}{2}$

$x=\displaystyle\frac{1}{2}$ で $F(x)$ は最小値 $3a+\displaystyle\frac{7}{2}$ をとるので、題意を満たすとき、

$3a+\displaystyle\frac{7}{2}>0$ $\iff a>-\displaystyle\frac{7}{6}$

(2)　解答

「 ($g(x)$ の最大値) < ($f(x)$ の最小値 ) 」を満たせばよい．

$f(x)=(x-2)^2+a$

$g(x)=-(x-1)^2-2a+1$ より、

$a$ の満たす条件は、$-2a+1<a$

よって、$a>\displaystyle\frac{1}{3}$

(3)　解答

「 ($g(x)$ の最大値) > ($f(x)$ の最小値 ) 」を満たせばよい．

$f(x)=(x-2)^2+a$

$g(x)=-(x-1)^2-2a+1$ より、

$a$ の満たす条件は、$-2a+1>a$

よって、$a<\displaystyle\frac{1}{3}$

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