指数・対数の積分について
※ 基本的公式レベルの問題を除き
\(Q1\)．三角・指数・対数関数があるか？ ☞ YES！
\(Q4\)．三角関数が入っているか？ ☞ NO！
のパターン(指数・対数の積分)についての解法まとめのページになっています！
このページで扱う例題は
① \(\displaystyle\int x^2 e^x\enspace dx\)
② \(\displaystyle\int x \log{x}\enspace dx\)
( Ａ )関数 × (多項式関数)の積分
(ア) Ａ が指数関数のとき
指数関数 ⇒ 積分
多項式関数 ⇒ 微分
で部分積分
例題①
\(\displaystyle\int x^2 e^x\enspace dx=\displaystyle\int x^2 (e^x)^{\prime}\enspace dx\) より
\(\displaystyle\int x^2 e^x\enspace dx=x^2e^x-\displaystyle\int (x^2)^{\prime} e^x\enspace dx\)
\(=x^2e^x-2\displaystyle\int xe^x\enspace dx\)
\(=x^2e^x-2\displaystyle\int x(e^x)^{\prime}\enspace dx\)
\(=x^2e^x-2\left\{xe^x-\displaystyle\int (x)^{\prime}e^x\enspace dx\right\}\)
\(=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C\)
(イ) Ａ が対数関数のとき
対数関数 ⇒ 微分
多項式関数 ⇒ 積分
で部分積分
例題②
\(\displaystyle\int x \log{x}\enspace dx=\displaystyle\int \left(\displaystyle\frac{x^2}{2}\right)^{\prime}\log{x}\enspace dx\)
\(=\displaystyle\frac{x^2}{2}\log{x}-\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2}{2}(\log{x})^{\prime}\enspace dx\)
\(=\displaystyle\frac{x^2}{2}\log{x}-\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{x}\enspace dx\)
\(=\displaystyle\frac{x^2}{2}\log{x}-\displaystyle\frac{x^2}{4}+C\)
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