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【数学Ⅲ】積分解法手順まとめ④指数・対数を含む積分|部分積分

積分まとめ

指数・対数の積分について

※ 基本的公式レベルの問題を除き

\(Q1\).三角・指数・対数関数があるか? ☞ YES!

\(Q4\).三角関数が入っているか? ☞ NO!

のパターン(指数・対数の積分)についての解法まとめのページになっています!

このページで扱う例題は

① \(\displaystyle\int x^2 e^x\enspace dx\)

② \(\displaystyle\int x \log{x}\enspace dx\)

( A )関数 × (多項式関数)の積分

(ア) A が指数関数のとき

指数関数 ⇒ 積分

多項式関数 ⇒ 微分

で部分積分

部分積分

\(\displaystyle\int f(x)g^{\prime}(x)\enspace dx=f(x)g(x)-\displaystyle\int f^{\prime}(x)g(x)\enspace dx\)

例題①

不定積分 \(\displaystyle\int x^2 e^x\enspace dx\) を求めよ.

\(\displaystyle\int x^2 e^x\enspace dx=\displaystyle\int x^2 (e^x)^{\prime}\enspace dx\) より

\(\displaystyle\int x^2 e^x\enspace dx=x^2e^x-\displaystyle\int (x^2)^{\prime} e^x\enspace dx\)

\(=x^2e^x-2\displaystyle\int xe^x\enspace dx\)

\(=x^2e^x-2\displaystyle\int x(e^x)^{\prime}\enspace dx\)

\(=x^2e^x-2\left\{xe^x-\displaystyle\int (x)^{\prime}e^x\enspace dx\right\}\)

\(=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C\)

(イ) A が対数関数のとき

対数関数 ⇒ 微分

多項式関数 ⇒ 積分

で部分積分

例題②

不定積分 \(\displaystyle\int x \log{x}\enspace dx\) を求めよ.

\(\displaystyle\int x \log{x}\enspace dx=\displaystyle\int \left(\displaystyle\frac{x^2}{2}\right)^{\prime}\log{x}\enspace dx\)

\(=\displaystyle\frac{x^2}{2}\log{x}-\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2}{2}(\log{x})^{\prime}\enspace dx\)

\(=\displaystyle\frac{x^2}{2}\log{x}-\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{x}\enspace dx\)

\(=\displaystyle\frac{x^2}{2}\log{x}-\displaystyle\frac{x^2}{4}+C\)

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