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【数Ⅲ】複素数平面まとめ⑪(連動型の軌跡)|入試問題演習(2000名古屋市立大)

複素数平面まとめ(数Ⅲ)

【問題11】2000 名古屋市立大学

\(2\) つの複素数 \(z\) と \(w\) との間に、\(w=\displaystyle\frac{z+i}{z+1}\) なる関係がある.

ただし、\(z+1\not=0\) とする.

(1) \(z\) が複素数平面上の虚軸を動くとき、\(w\) の軌跡を求め、図示せよ.

(2) \(z\) が複素数平面上の原点を中心とする半径 \(1\) の円周上を動くとき、\(w\) の軌跡を求めよ.

ここでは、数学Ⅲで学習する複素数平面について、実践問題(入試問題)を使って、ポイント(考え方)まとめをしていきます。

正直に言いますと、教科書をやっただけでは、入試レベルの問題に対応するのは難しいです。

ですから、教科書と入試レベルの橋渡しとして、過去に出題された入試問題を例に、複素数平面においておさえておきたい(入試でよく出る考え方)をまとめていきます。

基本的な考え方をしっかりと身に付け、2次試験で得点源にできるようにしていきましょう!

考え方・確認事項

(1) \(z\) が虚軸上

\(z\) が虚軸上

\(\iff z\) は純虚数 または \(z=0\)

\(\iff ( \overline{z}=-z , z\not=0 )\)  または \(z=0\)

\(\iff z+\overline{z}=0\)

 

(2) \(z\) が原点を中心とする半径 \(1\) の円周上

\(z\) が原点を中心とする半径 \(1\) の円周上を動く

\(\iff | z | =1\)

 

軌跡の求め方

方針 Ⅰ :条件式から、求める軌跡の文字のみの式に変形

方針Ⅱ :どのような図形になるか直接とらえる

方針 Ⅰ について

まず初めに、\(w=\displaystyle\frac{z+i}{z+1}\) から \(z=(wの式)\) を作り、

\(z\) が虚軸上 \(\iff z+\overline{z}=0\) に代入して \(w\) の式をまとめる

 

方針Ⅱについて

《例1》定点 \(A\) から距離が \(3\) となる点の軌跡

⇒ \(A\) を中心とする、半径 \(3\) の円

《例2》\(2\) 定点 \(A\)、\(B\) から距離が等しい点の軌跡

⇒ 線分 \(AB\) の垂直二等分線

《例3》\(2\) 定点 \(A\)、\(B\) から距離の比が \(m : n\) となる点の軌跡

⇒ アポロニウスの円

などなど、計算せずとも図形の形を直接捕まえることが出来る.

本問においては、解法②にて紹介.

(1) 解法①:条件式から、求める軌跡の文字のみの式に変形

\(w=\displaystyle\frac{z+i}{z+1}\) より、

\((z+1)w=(z+i)\)

\(z\) についてまとめると、

\((w-1)z=-w+i\) ・・・①

①において、\(w=1\) とすると、

\(0\cdot z=-1+i\) となり不成立.

よって \(w\not=1\) であるから①より

\(z=\displaystyle\frac{-w+i}{w-1}\) ・・・②

また、\(z\) が複素数平面上の虚軸を動くとき

\(z+\overline{z}=0\) より、②を代入すると

\(\displaystyle\frac{-w+i}{w-1}+\overline{\left(\displaystyle\frac{-w+i}{w-1}\right)}=0\)

\(\displaystyle\frac{-w+i}{w-1}+\displaystyle\frac{-\overline{w}-i}{\overline{w}-1}=0\)

\((-w+i)(\overline{w}-1)+(w-1)(-\overline{w}-i)=0\)

展開して式を整理すると、

\(w\overline{w}-\displaystyle\frac{1-i}{2}w-\displaystyle\frac{1+i}{2}\overline{w}=0\)

\(\left(w-\displaystyle\frac{1+i}{2}\right)\left(\overline{w}-\displaystyle\frac{1-i}{2}\right)=\displaystyle\frac{1+i}{2}\cdot\displaystyle\frac{1-i}{2}\)

\(\left(w-\displaystyle\frac{1+i}{2}\right)\overline{\left(w-\displaystyle\frac{1+i}{2}\right)}=\displaystyle\frac{1}{2}\)

以上より、

\(\left| w-\displaystyle\frac{1+i}{2} \right|=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) かつ \(w\not=1\)

図示すると、以下のようになる

(1) 解法②:どのような図形になるか直接とらえる

(1)解法Ⅰの \(z=\displaystyle\frac{-w+i}{w-1}\) ・・・② (\(w\not=1\))

までは同じ.

\(z\) は虚軸上、つまり \(z\) 純虚数または \(0\) なので、

( \(2\) 点 \(w\)、\(1\) を結ぶ線分 ) ⊥ ( \(2\) 点 \(w\)、\(i\) を結ぶ線分 )

ただし \(w\not=1\)

下図より、\(w\) の軌跡は、

\(2\) 点 \(1\)、\(i\) を直径とする円上で、\(w=1\) を除く

 

(2) 解答

\(| z |=1\) より、(1)の②を代入して、

\(| \displaystyle\frac{-w+i}{w-1} |=1\)

\(| w-i |=| w-1 |\)

これは、\(w\) が \(2\) 点 \(1\)、\(i\) から距離が等しい点の軌跡を表すので、

求める軌跡は、\(2\) 点 \(1\)、\(i\) を結ぶ線分の垂直二等分線

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