(三角関数)×(多項式)の積分について

※ 基本的公式レベルの問題を除き

\(Q1\)．三角・指数・対数関数があるか？　☞　YES！

\(Q3\)．三角関数が入っているか？　☞　YES！

\(Q4\)．三角関数のみか？　☞　NO！

のパターンについての解法まとめのページになっています！

【このページで扱う例題】

①　不定積分 \(\displaystyle\int x\sin x \enspace dx\) を求めよ．

②　不定積分 \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{x}{\cos^2x} \enspace dx\) を求めよ．

(三角関数)×(多項式)の積分

不定積分 \(\displaystyle\int x\sin x \enspace dx\) を求めよ．

(三角関数)×(多項式)の積分は、

三角関数⇒積分、多項式⇒微分して部分積分

部分積分

\(\displaystyle\int f(x)g^{\prime}(x)\enspace dx=f(x)g(x)-\displaystyle\int f^{\prime}(x)g(x)\enspace dx\)

\(\displaystyle\int x\sin x \enspace dx\)

\(=\displaystyle\int x(-\cos x)^{\prime} \enspace dx\)

\(=x(-\cos x)-\displaystyle\int (x)^{\prime}(-\cos x)\enspace dx\)

\(=-x\cos x+\sin x+C\)

不定積分 \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{x}{\cos^2x} \enspace dx\) を求めよ．

\((\tan x)^{\prime}=\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}\) より

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{x}{\cos^2x} \enspace dx\)

\(=\displaystyle\int x(\tan x)^{\prime}\enspace dx\)

\(=x\tan x-\displaystyle\int \tan x\enspace dx\)

\(=x\tan x+\log|\cos x|+C\)

【参考】覚えておくと便利な公式

・\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\enspace dx=\sqrt{x}+C\)

・\(\displaystyle\int \tan x\enspace dx=-\log{|\cos x|}+C\)

・\(\displaystyle\int \log{x}\enspace dx=x\log{x}-x+C\)