\(\sin^nx\)、\(\cos^nx\) の積分について
【問題】
① \(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4x \enspace dx\)
② \(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^5x \enspace dx\)
③ \(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4x\cos^2x \enspace dx\)
頻出有名公式
\(n\) が偶数のとき
\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}\times\displaystyle\frac{n-3}{n-2}\times\displaystyle\frac{n-5}{n-4}\times\cdots\times\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
\(n\) が奇数のとき
\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}\times\displaystyle\frac{n-3}{n-2}\times\displaystyle\frac{n-5}{n-4}\times\cdots\times\displaystyle\frac{2}{3}\times1\)
証明\(\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}\sin^nx\enspace dx\) について
\(I_{n}=\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}\sin^nx\enspace dx\) とおく
\(I_{n}=\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}\sin^{n-1}x\cdot\sin x\enspace dx\)
\(=\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}\sin^{n-1}x\cdot(-\cos x)^{\prime}\enspace dx\)
\(=\Bigl[-\sin^{n-1}x\cos x\Bigr]^{\frac{\pi}{2}}_{0}+\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}(n-1)\sin^{n-2}x \cos^2x\enspace dx\)
ここで， \(\Bigl[-\sin^{n-1}x\cos x\Bigr]^{\frac{\pi}{2}}_{0}=0\) , \(\cos^2x=1-\sin^2x\) より
\(I_{n}=(n-1)\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\enspace dx\)
\(I_{n}=(n-1)(I_{n-2}-I_{n})\)
したがって、\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}I_{n-2}\) ・・・①
①において、\(n\) を \(n-2\) とすると
\(I_{n-2}=\displaystyle\frac{n-3}{n-2}I_{n-4}\)
これを①に代入して、
\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}\times\displaystyle\frac{n-3}{n-2}I_{n-4}\)
これを同様に繰り返していくと、
\(n\) が偶数のとき
\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}\times\displaystyle\frac{n-3}{n-2}\times\displaystyle\frac{n-5}{n-4}\times\cdots\times\displaystyle\frac{1}{2}\times I_{0}\)
\(n\) が奇数のとき
\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}\times\displaystyle\frac{n-3}{n-2}\times\displaystyle\frac{n-5}{n-4}\times\cdots\times\displaystyle\frac{2}{3}\times I_{1}\)
ここで、
\(I_{0}=\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}\sin^0x\enspace dx=\Bigl[ x \Bigr]^{\frac{\pi}{2}}_{0}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
\(I_{1}=\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}\sin x\enspace dx=\Bigl[ -\cos x \Bigr]^{\frac{\pi}{2}}_{0}=1\)
であるから、\(I_{n}\) は
\(n\) が偶数のとき
\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}\times\displaystyle\frac{n-3}{n-2}\times\displaystyle\frac{n-5}{n-4}\times\cdots\times\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
\(n\) が奇数のとき
\(I_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}\times\displaystyle\frac{n-3}{n-2}\times\displaystyle\frac{n-5}{n-4}\times\cdots\times\displaystyle\frac{2}{3}\times1\)
証明\(\displaystyle\int^\frac{\pi}{2}_{0}\cos^nx\enspace dx\) について
上で証明した結果を利用する．
\(\sin x=\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\right)\) より、
\(I_{n}=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos^n\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\right)\enspace dx\)
ここで、 \(t=\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\) と置換すると、
\(dt=-dx\) であり、
\(x\) が \(0\) \(\to\) \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) のとき、\(t\) は \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) \(\to\) \(0\) であるから、
\(I_{n}=\displaystyle\int^{0}_{\frac{\pi}{2}}\cos^nt\enspace (-dt)=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos^nt\enspace dt\)
したがって、
\(I_{n}=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin^nx\enspace dx=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \cos^nx\enspace dx\)
問題の解答
【問題】
①は \(n\) が偶数のときであるから
\(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4x \enspace dx=\displaystyle\frac{3}{4}\times\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{\pi}{2}=\displaystyle\frac{3\pi}{16}\)
②は \(n\) が奇数のときであるから
\(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^5x \enspace dx=\displaystyle\frac{4}{5}\times\displaystyle\frac{2}{3}\times1=\displaystyle\frac{8}{15}\)
③ \(\cos^2x=1-\sin^2x\) より
\(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4x\cos^2x \enspace dx\)
\(=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4x(1-\sin^2x) \enspace dx\)
\(=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}(\sin^4x-\sin^6x) \enspace dx\)
\(=\displaystyle\frac{3}{4}\times\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{\pi}{2}-\displaystyle\frac{5}{6}\times\displaystyle\frac{3}{4}\times\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{\pi}{2}=\displaystyle\frac{\pi}{32}\)
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