Loading [MathJax]/extensions/MathEvents.js
スポンサーリンク

【2023共通テスト(第1日程)】数学ⅡB:第2問[1](微分法)|3次関数,円錐に内接する円柱の体積

共通テスト(センター試験)

【2023数学ⅡB(第1日程)】第2問[1](微分法)

[1](1)問題と解答・解説《ア〜ク》

[1](1)解答・解説《ア〜ク》

k を正の定数とし,f(x)=x^2(k-x)

y=f(x)x 軸との共有点の座標は,

f(x)=0 \iff x^2(k-x)=0

より x=0,k

よって,(0,0)(k,0) ・・・《ア:④》

また,f(x)=-x^3+kx^2 より

f^{\prime}(x)=-3x^2+2kx ・・・《イ〜エ》

f^{\prime}(x)=-x(3x-2k)

f^{\prime}(x)=0 のとき x=0,\displaystyle\frac{2k}{3}

k>0 より増減表は

x ・・・ 0 ・・・ \displaystyle\frac{2k}{3} ・・・
f^{\prime}(x) 0 0
f(x) ↘️ ↗️ ↘️

x=0 のとき,f(x) は極小値 0 ・・・《オ:⓪,カ:⓪》

x=\displaystyle\frac{2k}{3} のとき,f(x) は極大値 \displaystyle\frac{4k^3}{27} ・・・《キ:③,ク:⑨》

(2)問題と解答・解説《ケ〜ソ》

(2)解答・解説《ケ〜ソ》

円柱の底面の半径を x,高さを h とおく

右図のの相似な直角三角形に注目すると

9-x:h=9:15 \iff h=\displaystyle\frac{5}{3}(9-x)

よって円柱の体積 V

V=x^2\pi\cdot h=\displaystyle\frac{5}{3}\pi x^2(9-x) ・・・《ケ〜サ》

(1)において,k=9 として考えると

V=\displaystyle\frac{5}{3}\pi f(x) より

0<x<9 のとき

x=\displaystyle\frac{2k}{3}=6 のとき・・・《シ》

V は最大値 180\pi ・・・《ス〜ソ》

コメント

タイトルとURLをコピーしました