【2023数学ⅡB(第1日程)】第2問[1](微分法)
[1](1)問題と解答・解説《ア〜ク》
[1](1)解答・解説《ア〜ク》
k を正の定数とし,f(x)=x^2(k-x)
y=f(x) と x 軸との共有点の座標は,
f(x)=0 \iff x^2(k-x)=0
より x=0,k
よって,(0,0),(k,0) ・・・《ア:④》
また,f(x)=-x^3+kx^2 より
f^{\prime}(x)=-3x^2+2kx ・・・《イ〜エ》
f^{\prime}(x)=-x(3x-2k)
f^{\prime}(x)=0 のとき x=0,\displaystyle\frac{2k}{3}
k>0 より増減表は
x | ・・・ | 0 | ・・・ | \displaystyle\frac{2k}{3} | ・・・ |
f^{\prime}(x) | ー | 0 | + | 0 | ー |
f(x) | ↘️ | ↗️ | ↘️ |
x=0 のとき,f(x) は極小値 0 ・・・《オ:⓪,カ:⓪》
x=\displaystyle\frac{2k}{3} のとき,f(x) は極大値 \displaystyle\frac{4k^3}{27} ・・・《キ:③,ク:⑨》
(2)問題と解答・解説《ケ〜ソ》
(2)解答・解説《ケ〜ソ》
円柱の底面の半径を x,高さを h とおく
右図の青と赤の相似な直角三角形に注目すると
9-x:h=9:15 \iff h=\displaystyle\frac{5}{3}(9-x)
よって円柱の体積 V は
V=x^2\pi\cdot h=\displaystyle\frac{5}{3}\pi x^2(9-x) ・・・《ケ〜サ》
(1)において,k=9 として考えると
V=\displaystyle\frac{5}{3}\pi f(x) より
0<x<9 のとき
x=\displaystyle\frac{2k}{3}=6 のとき・・・《シ》
V は最大値 180\pi ・・・《ス〜ソ》
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