【2024共通テスト(第１日程)】数学ⅠA：第５問(図形の性質)｜メネラウスの定理、方べきの定理 

(１)問題《ア～オ》

(１)解答・解説《ア～オ》

メネラウスの定理より

$\displaystyle\frac{QR}{RD}\times\displaystyle\frac{DS}{SA}\times\displaystyle\frac{AC}{CQ}=1$ ・・・《ア：⓪》 

が成り立つので，

$\displaystyle\frac{QR}{RD}\times\displaystyle\frac{3}{2}\times\displaystyle\frac{8}{3}=1$

よって $\displaystyle\frac{QR}{RD}=\displaystyle\frac{1}{4}$ より

$QR：RD=1：4$ ・・・《イウ》 

メネラウスの定理より

$\displaystyle\frac{QB}{BD}\times\displaystyle\frac{DT}{TA}\times\displaystyle\frac{AP}{PQ}=1$

が成り立つので，

$\displaystyle\frac{QB}{BD}\times\displaystyle\frac{4}{1}\times\displaystyle\frac{2}{3}=1$

よって $\displaystyle\frac{QB}{BD}=\displaystyle\frac{3}{8}$ より

$QB：BD=3：8$ ・・・《エオ》 

したがって，$BQ：QR：RD=3：1：4$ となることがわかる．

(２)の(ⅰ)(ⅱ)問題《カ～シ》

(２)の(ⅰ)(ⅱ)解答・解説《カ～シ》

(ⅰ)　$AT=x$ とすると，$AS=2x$ なので

方べきの定理から

$x\times2x=2\times5$ $\iff$ $x^2=5$

よって $x=AT=\sqrt{5}$ ・・・《カ》 

さらに，$DR=4\sqrt{3}$ となることがわかる．

(ⅱ)まず $AQ\cdot CQ=5\cdot 3=15$ かつ $BQ\cdot DQ=3\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3}=$$45$ ・・・《キク》

$AQ\cdot CQ< BQ\cdot DQ$ ・・・《ケ：⓪》 

方べきの定理より

$AQ\cdot CQ=BQ\cdot XQ$ ・・・《コ：①》 

が成り立つ．上の2式の左辺は同じなので，$XQ<DQ$ ・・・《サ：⓪》が得られる．

したがって，点 $D$ は $3$ 点 $A$，$B$，$C$ を通る円の外部・・・《シ：②》にある．

(２)の(ⅲ)問題《スセ》

(２)の(ⅲ)解答・解説《スセ》

$CR=RS=SE=3$ となることがわかる．

(ⅱ)と同様に考えていく

$DS\times SA=3\sqrt{5}\times2\sqrt{5}=30$

$CS\times SE=6\times3=18$

$DS\times SA > CS\times SE$ より点 $A$ は $3$ 点 $C$，$D$，$E$ を通る円の外部・・・《ス：②》 

$DR\times RB=4\sqrt{3}\times4\sqrt{3}=48$

$CR\times RE=3\times6=18$

$DR\times RB > CR\times RE$ より点 $B$ は $3$ 点 $C$，$D$，$E$ を通る円の外部・・・《セ：②》