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【2021共通テスト】数学ⅠA:第4問(整数の性質)|1次不定方程式

数学(大学入試問題)

2021年共通テスト(数学ⅠA)第4問[整数]

(1)問題と解説

さいころを投げて、偶数の目が \(x\) 回、奇数の目が \(y\) 回でるとき、

偶数の目が \(1\) 回出ると \(5\) 進み、奇数の目が \(1\) 回出ると \(-3\) 進むと考える.

\(x+y=5\) かつ \(5x-3y=1\) を解いて

\(x=2\)、\(y=3\) ・・・〈ア、イ〉

(2)問題と解答

(1)より、\(5\times2-3\times3=1\) を \(8\) 倍して、

\(5\times16-3\times24=8\) より、

①の解の \(1\) つは、\(x=16\)、\(y=24\)

また①より、\(y=\displaystyle\frac{5}{3}x-8\)

つまり、傾きが \(\displaystyle\frac{5}{3}\) の直線と考えて格子点に注目すると、

\(k\) を整数として

\(x=16+3k\)、\(y=24+5k\) ・・・〈ウ、エ〉

1次不定方程式の格子点を利用した解法については、

【頻出】1次不定方程式 (ax+by=c)の解法2つ(模範解答と時短裏技)

で詳しく説明しています.マーク試験であれば時短になります!

\(y=24+5k\) かつ \(0≦y<5\) を満たす整数 \(k=-4\) であるから、

このとき、\(x=4\)、\(y=4\) ・・・〈オ、カ〉

したがって、\(x+y=8\) 回 ・・・〈キ〉

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(3)問題と解答

(2)において、\(8\) 回よりも少ない回数で、点 \(P_{0}\) にある石を点 \(P_{8}\) に移動させる方法を考える.

\(8-15=-7\) より、

\(5x-3y=-7\) かつ \(x+y<8\) を満たす整数 \(x\)、\(y\) を考えれば良いので、

これを満たす整数は \(x=1\)、\(y=4\)

つまり、偶数の目が \(1\) 回 ・・・〈ク〉、奇数の目が \(4\) 回 ・・・〈ケ〉

よって、さいころを投げる回数はが、\(1+4=5\) 回 ・・・〈コ〉のときである

(4)問題と解答

・ \(P_{10}\) のとき

\(5x-3y=10\) または \(5x-3y=-5\) かつ \(x+y\) が最小となる正の整数 \(x\)、\(y\) を考えると

\((x,y)=(2,0)\) または \((2,5)\)

つまり、最小回数 ( \(x+y\) が最小となる ) のは、\(2\) 回

・ \(P_{11}\) のとき

\(5x-3y=11\) または \(5x-3y=-4\) かつ \(x+y\) が最小となる正の整数 \(x\)、\(y\) を考えると

\((x,y)=(4,3)\) または \((1,3)\)

つまり、最小回数 ( \(x+y\) が最小となる ) のは、\(4\) 回

\(P_{12}\) のとき

\(5x-3y=12\) または \(5x-3y=-3\) かつ \(x+y\) が最小となる正の整数 \(x\)、\(y\) を考えると

\((x,y)=(3,1)\) または \((0,1)\)

つまり、最小回数 ( \(x+y\) が最小となる ) のは、\(1\) 回

\(P_{13}\) のとき

\(5x-3y=13\) または \(5x-3y=-2\) かつ \(x+y\) が最小となる正の整数 \(x\)、\(y\) を考えると

\((x,y)=(5,4)\) または \((2,4)\)

つまり、最小回数 ( \(x+y\) が最小となる ) のは、\(6\) 回

\(P_{14}\) のとき

\(5x-3y=14\) または \(5x-3y=-1\) かつ \(x+y\) が最小となる正の整数 \(x\)、\(y\) を考えると

\((x,y)=(4,2)\) または \((1,2)\)

つまり、最小回数 ( \(x+y\) が最小となる ) のは、\(3\) 回

 

したがって、最小回数が最も多いのは、点 \(P_{13}\) の ③ ・・・〈サ〉であり、

その最小回数は \(6\) 回 ・・・〈シ〉

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