【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ．
１．\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=a_{n}+3\)
２．\(a_{1}=3\)，\(a_{n+1}=2a_{n}\)
３-①．\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=a_{n}+2n\)
３-②．\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=a_{n}+4^n\)
漸化式は完全暗記もの！
数学が得意不得意に関わらず，ただただパターンを覚えてなければできるようになりません！
その中でも，最も基本となる\(3\) パターンの解法まとめページになります。
パターン１．等差数列型
\(a_{n+1}=a_{n}+d\)
👉 \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
※ \(a_{n}\) , \(a_{n+1}\) の係数が『 1 』であることが大切！
※ \(a_{n}\) の係数が『 1 』でないときはパターン４になります！
パターン２．等比数列型
\(a_{n+1}=ra_{n}\)
👉 \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
※ \(a_{n+1}\) の係数が『 1 』であることが大切！
パターン３．階差数列型
\(a_{n+1}=a_{n}+\)( \(n\) の式 )
👉 \(n≧2\) のとき
\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{(k}\)の式)
※ \(n≧2\) について考えるため，最後に \(n=1\) のときの確認が必要！
※ \(a_{n}\) の係数が『 1 』であることが大切！
⇒ \(a_{n}\) の係数が『 1 』でないときはパターン７「」
３-①．\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=a_{n}+2n\)
３-②．\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=a_{n}+4^n\)
３-①
\(n≧2\) のとき \(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{2k}\)
\(a_{n}=1+2\cdot\displaystyle\frac{1}{2}(n-1)n\)
よって，\(a_{n}=n^2-n+1\)
\(n=1\) のとき \(a_{n}=1^2-1+1=1\) となり成立
したがって，\(a_{n}=n^2-n+1\)
３-②
\(n≧2\) のとき \(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{4^k}\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{4^k}\) は初項が \(4\) , 公比が \(4\) , 項数が \(n-1\) の等比数列の和であるから，
\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\frac{4(4^{n-1}-1)}{4-1}=\displaystyle\frac{1}{3}(4^n-1)\)
\(n=1\) のとき \(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{3}(4^1-1)=1\) となり成立
したがって，\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{3}(4^n-1)\)
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