【漸化式1,2,3】等差・等比・階差数列型｜解法パターン｜数学B数列

【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ．

１． $a_{1}=2$ ， $a_{n+1}=a_{n}+3$

２． $a_{1}=3$ ， $a_{n+1}=2a_{n}$

３-①． $a_{1}=1$ ， $a_{n+1}=a_{n}+2n$

３-②． $a_{1}=1$ ， $a_{n+1}=a_{n}+4^n$

漸化式は完全暗記もの！

数学が得意不得意に関わらず，ただただパターンを覚えてなければできるようになりません！

その中でも，最も基本となる $3$ パターンの解法まとめページになります。

パターン１．等差数列型
パターン２．等比数列型
パターン３．階差数列型
1. ３-①
2. ３-②

パターン１．等差数列型

$a_{n+1}=a_{n}+d$

👉　 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

※ $a_{n}$ , $a_{n+1}$ の係数が『 1 』であることが大切！

※ $a_{n}$ の係数が『 1 』でないときはパターン４になります！

１．

$a_{1}=2$ ，

$a_{n+1}=a_{n}+3$

$a_{1}=2$ ,

$d=3$ の等差数列であるから，

$a_{n}=2+(n-1)\times 3$

よって，

$a_{n}=3n-1$

パターン２．等比数列型

$a_{n+1}=ra_{n}$

👉　 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

※ $a_{n+1}$ の係数が『 1 』であることが大切！

２．

$a_{1}=3$ ，

$a_{n+1}=2a_{n}$

$a_{1}=3$ ，

$r=2$ の等比数列であるから，

$a_{n}=3\cdot 2^{n-1}$

パターン３．階差数列型

$a_{n+1}=a_{n}+$ ( $n$ の式 )

👉　 $n≧2$ のとき

$a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{(k}$ の式)

※ $n≧2$ について考えるため，最後に $n=1$ のときの確認が必要！

※ $a_{n}$ の係数が『 1 』であることが大切！

⇒ $a_{n}$ の係数が『 1 』でないときはパターン７「」

３-①． $a_{1}=1$ ， $a_{n+1}=a_{n}+2n$

３-②． $a_{1}=1$ ， $a_{n+1}=a_{n}+4^n$

３-①

$n≧2$ のとき $a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{2k}$

$a_{n}=1+2\cdot\displaystyle\frac{1}{2}(n-1)n$

よって， $a_{n}=n^2-n+1$

$n=1$ のとき $a_{n}=1^2-1+1=1$ となり成立

したがって， $a_{n}=n^2-n+1$

３-②

$n≧2$ のとき $a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{4^k}$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{4^k}$ は初項が $4$ , 公比が $4$ , 項数が $n-1$ の等比数列の和であるから，

$a_{n}=a_{1}+\displaystyle\frac{4(4^{n-1}-1)}{4-1}=\displaystyle\frac{1}{3}(4^n-1)$

$n=1$ のとき $a_{n}=\displaystyle\frac{1}{3}(4^1-1)=1$ となり成立

したがって， $a_{n}=\displaystyle\frac{1}{3}(4^n-1)$

【漸化式4】隣接二項間特性方程式｜解法パターン｜数学B数列

漸化式の解き方・解法まとめ。隣接二項間特性方程式の一般項の求め方、頻出・最重要問題。定期考査、大学入試共通テスト、２次試験対策。