【シュワルツの積分不等式】証明・例題演習｜高校数学

シュワルツの積分不等式

証明

任意の実数 \(t\) に対して

\(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}\left\{tg(x)-f(x)\right\}^2 dx≧0\)

つまり，

\(t^2\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}g(x)^2 dx-2t \displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}f(x)g(x) dx+\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}f(x)^2 dx≧0\)

が成り立つ．

・\(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}g(x)^2 dx>0\) のとき

(左辺)=0 の判別式を \(D\) とすると，\(D≦0\)

よって，

\(\left(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}(x+a)(x+b) dx\right)^2≦\left(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha} (x+a)^2dx\right)\left(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}(x+b)^2 dx\right)\)

が成り立つ

・\(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}g(x)^2 dx=0\) のとき

\(\alpha≦x≦\beta\) において，\(g(x)=0\) であるから

\(\left(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}(x+a)(x+b) dx\right)^2≦\left(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha} (x+a)^2dx\right)\left(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}(x+b)^2 dx\right)\)

の等号が成立する．

上では一般論として証明しました。

本問の(１)は，

\(f(x)=x+a\) , \(g(x)=x+b\) , \(\alpha=0\) , \(\beta=1\) としたときですね！

下記では計算としての証明を与えておきます！

解答・解説

(１)

\(\displaystyle\int^{1}_{0}(x+a)^2 dx=\Bigl[\displaystyle\frac{1}{3}x^3+ax^2+a^2x\Bigr]^{1}_{0}\\=a^2+a+\displaystyle\frac{1}{3}・・・①\)

同様に，

\(\displaystyle\int^{1}_{0}(x+b)^2 dx=b^2+b+\displaystyle\frac{1}{3}・・・②\)

また，

\(\displaystyle\int^{1}_{0}(x+a)(x+b) dx=\displaystyle\int^{1}_{0}\left\{x^2+(a+b)x+ab\right\} dx\\=\Bigl[\displaystyle\frac{1}{3}x^3+\displaystyle\frac{a+b}{2}x^2+abx\Bigr]^{1}_{0}\\=\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{a+b}{2}+ab・・・③\)

①，②，③より

(右辺) − (左辺)

\(=\left(a^2+a+\displaystyle\frac{1}{3}\right)\left(b^2+b+\displaystyle\frac{1}{3}\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{a+b}{2}+ab\right)^2\)

\(=\displaystyle\frac{1}{12}a^2-\displaystyle\frac{1}{6}ab+\displaystyle\frac{1}{12}b^2\)

\(=\displaystyle\frac{1}{12}(a-b)^2≧0\)

よって

\(\left(\displaystyle\int^{1}_{0}(x+a)(x+b) dx\right)^2≦\left(\displaystyle\int^{1}_{0} (x+a)^2dx\right)\left(\displaystyle\int^{1}_{0}(x+b)^2 dx\right)\)

(２)

(１)で等号が成立するのは

\(\displaystyle\frac{1}{12}(a-b)^2=0\)

つまり，\(a=b\) のとき