【三角関数】差がつく入試問題　京都薬科大学・大阪大学（文系）

三角関数【問題】

今回の問題を見た瞬間に、どの公式を利用するのか、それを見抜くための練習問題です！

方針（どの公式を使うか）わからない人は、まず最初に公式を確認しましょう！

【三角関数】公式まとめ

👆で公式をチェックしよう！

2011 京都薬科大学【解答】

$\tan^2\displaystyle\frac{\alpha}{2} = \displaystyle\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$ より

$\displaystyle\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}=\displaystyle\frac{1}{\tan^2\displaystyle\frac{\alpha}{2}}$

よって、

$\sqrt{\displaystyle\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{\tan^2\displaystyle\frac{\alpha}{2}}}=\left|\displaystyle\frac{1}{\tan^2\displaystyle\frac{\alpha}{2}}\right|=8$

$-\displaystyle\frac{\pi}{2}<x<0$ より

$\tan \displaystyle\frac{x}{2}<0$ なので

$\displaystyle\frac{1}{\tan \displaystyle\frac{x}{2}}=-8$

したがって

$\tan \displaystyle\frac{x}{2}=-\displaystyle\frac{1}{8}$

2014 大阪大学【解答】

$\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$

より

(右辺)

$=\displaystyle\frac{2\sin \displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2} \cos \displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}}{2\cos \displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2} \cos \displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ = \displaystyle\frac{\sin \displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos \displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}}$

=(左辺)

最後に

理系であれば数学Ⅲの微積で、和積、積和の公式はよく使うためそこまで抵抗はないかもしれませんが、文系にとっては、和積、積和の公式を使いこなすのは意外と難しく、差がつきやすい問題となります。

大阪大学の問題を見てわかるように、ただ公式を当てはめるだけの、難易度は低い問題であるにも関わらず、ものすごく差がつく問題となります。

和積、積和の公式は使えないか？？と疑えるようになってください！