【2009東京大学[５]】0.9999^(101)<0.99<0.9999^(100)を示せ

【2009東京大学・理系・第５問】

(１)　実数 \(x\) が \(-1<x<1\) ，\(x\not=0\) をみたすとき，次の不等式を示せ．

\((1-x)^{1-\frac{1}{x}}<(1+x)^{\frac{1}{x}}\)

(２) 次の不等式を示せ．

\(0.9999^{101}<0.99<0.9999^{100}\)

解答・解説

\(-1<x<1\) より，\(1-x>0\)，\(1+x>0\) なので

与式の両辺に自然対数をとると

\((1-x)^{1-\frac{1}{x}}<(1+x)^{\frac{1}{x}}\)

\(\iff\) \(\log{(1-x)^{1-\frac{1}{x}}}<\log{(1+x)^{\frac{1}{x}}}\)

\(\iff\) \(\left(1-\displaystyle\frac{1}{x}\right)\log{(1-x)}<\displaystyle\frac{1}{x}\log{(1+x)}\)

\(\iff\) \(\log(1-x)<\displaystyle\frac{1}{x}\left\{\log(1+x)+\log(1-x)\right\}\)

\(\iff\) \(\log(1-x)<\displaystyle\frac{1}{x}\log(1-x^2)\)

\(\iff\) \(\begin{cases}x\log(1-x)<\log(1-x^2)　(0<x<1\text{のとき})\\x\log(1-x)>\log(1-x^2)　(-1<x<0のとき)\end{cases}\)

を示せばよい．

ここで \(f(x)=\log(1-x^2)-x\log(1-x)\) とおく．

\(f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{-2x}{1-x^2}-\log(1-x)+\displaystyle\frac{x}{1-x}\)

=\(-1+\displaystyle\frac{1}{1+x}-\log(1-x)\)

\(f^{\prime}(x)=0\) を満たす \(x\) の値を考えて増減表を考えたいけど・・・

\(f^{\prime}(x)\) で解決しない場合は，さらに微分(\(f^{\prime\prime}(x)\)) を考えましょう！

\(f^{\prime\prime}(x)=\displaystyle\frac{-1}{(1+x)^2}+\displaystyle\frac{1}{1-x}=\displaystyle\frac{x(x+3)}{(1+x)^2(1-x)}\) より

よって増減表より，\(-1<x<1\)，\(x\not=0\) において

\(f^{\prime}(x)>0\) であるから，\(f(x)\) は単調に増加する．

また，\(f(0)=0\) であるから，

\(-1<x<0\) のとき \(f(x)<0\)

\(0<x<1\) のとき \(f(x)>0\)

となり，題意は示された．

(１)の結果において，両辺に \((1-x)^{\frac{1}{x}}\) (>0) をかけると

\(1-x<\left\{(1+x)(1-x)\right\}^{\frac{1}{x}}=(1-x^2)^{\frac{1}{x}}\)

この式に \(x=0.01\) を代入すると

\(0.99<0.9999^{100}\) ・・・①

また同様に (１)の結果において両辺に \((1+x)^{1-\frac{1}{x}}\) (>0) をかけると

\((1-x^2)^{1-\frac{1}{x}}<1+x\)

この式に \(x=-0.01\) を代入すると

\(0.9999^{101}<0.99\) ・・・②

①，②より，\(0.9999^{101}<0.99<0.9999^{100}\)