【2010大阪大学】2^x+3^y=43、log(2)x-log(3)y=1を満たす実数解

(１)整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

整数問題の多くが、上の１から３のいずれかで処理できます。

$2^x$ や $3^y$ は常に正であることを利用して、範囲を絞りましょう！

(１)解答・解説

$2^x+3^y=43$ ・・・①

$\log_{2}{x}-\log_{3}{y}=1$ ・・・②

①より $2^x=43-3^y$ で，$2^x>0$ であるから

$43-3^y>0$ $\iff$ $3^y<43$

$y$ は自然数より $y = 1 , 2 , 3$

( ⅰ )　$y=1$ のとき

①より $2^x=40$

これを満たす自然数 $x$ は存在しない

( ⅱ )　$y=2$ のとき

①より $2^x=34$

これを満たす自然数 $x$ は存在しない

( ⅲ )　$y=3$ のとき

①より $2^x=16$

よって $x=4$

このとき，$\log_{2}{4}-\log_{3}{3}=1$ となり②を満たす．

以上より，$x=4$ , $y=3$

(２)解答・解説

$y>0$ かつ $y\not=3$ を満たす実数解が存在するかどうかを調べる．

( ⅰ )　$0<y<3$ のとき

$3^0<3^y<3^3$ $\iff$ $1<3^y<27$

①より，$1<43-2^x<27$

$\iff$ $16<2^x<42$

$\iff$ $4<x<\log_{2}{43}$ ・・・③

また，$\log_{3}{y}<\log_{3}{3}=1$ で②より

$\log_{2}{x}-1<1$ $\iff$ $\log_{2}{x}<2$

よって，$x<4$ ・・・④

③，④より $0<y<3$ を満たす実数 $x$ は存在しない

( ⅱ )　$3<y$ のとき

$3^3<3^y$ $\iff$ $27<3^y$

①より，$27<43-2^x$

$\iff$ $2^x<16$ $\iff$ $x<4$ ・・・⑤

また，$\log_{3}{3}<\log_{3}{y}$ $\iff$ $1<\log_{3}{y}$

②より，$1<\log_{2}{x}-1$ $\iff$ $2<\log_{2}{x}$

よって，$4<x$ ・・・⑥

⑤，⑥より $3<y$ を満たす実数 $x$ は存在しない

したがって，題意は示された．