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【2012京都大学】cos aθ=cos bθ,0<θ≦πとなるθがちょうど1つある正の実数(a,b)の範囲

数学(大学入試問題)

【2012京都大学・文】

次の条件 ( ※ ) を満たす正の実数の組 \((a,b)\) の範囲を求め,座標平面上に図示せよ.

( ※ ) \(\cos a\theta=\cos b\theta\) かつ \(0< \theta≦\pi\) となる \(\theta\) がちょうど \(1\) つある.

1992年に京都大学の過去問で類題が出題されています。数十年おきに出題されているため,そろそろ出題されてもおかしくない??有名な三角関数の問題ですから,京都大学志望以外の方もしっかりとマスターしておきましょう!

\(\cos A=\cos B\) について

考え方①単位円で考える

\(\cos A=\cos B\)

\(\iff\) \(A=\pm B+2n\pi\) ( \(n\) は整数 )

《単位円で \(A\) と \(B\) が同じ位置にあるとき》

一番シンプルなのは \(A=B\) (  \(n=0\) のとき )

他にも, \(A\) が \(B\) よりも一周分 ( 2 \(\pi\) 分 ) だけ大きい角度であるとき

\(A=B+2\pi\) (  \(n=1\) のとき )

というように, \(A\) と \(B\) が同じ位置にいるとき, \(A=B+2n\pi\) の関係が成り立つ,

 

《単位円で \(x\) 座標が同じ(異なる点)のとき》

例えば,\(\cos 60°=\cos 300°\) のように,

\(60°+300°=360° ( 2\pi )\) ( \(n=0\) ) のときに成り立つ.

他にも,\(\cos 60°=\cos (60°+360°\times n)\) であるから

\(\cos (60°+360°\times n)=\cos 300°\) となり,

\((60°+360°\times n)+300°=360°+360°\times n ( =2\pi+2n\pi)\) の関係が成り立つ.

よって, \(A\) と \(B\) の \(x\) 座標が同じとき, \(A+B=2\pi+2n\pi\)

つまり  \(A=-B+2\pi+2n\pi\) の関係が成り立つ,

\(\sin A=\sin B\) の関係については,

【1992京都大学】sin3θ=sin2θ、sin3θ=msin2θ+nsinθを満たす0以上の整数m,n

を参考に!

【1992京都大学】sin3θ=sin2θ、sin3θ=msin2θ+nsinθを満たす0以上の整数m,n
sinA=sinBとなるA,Bの関係式。また和積の公式を利用した別解。京大過去問演習。頻出良問。数学Ⅱ:三角関数

考え方②和積の公式の利用

和積の公式

\(\cos A-\cos B=-2\sin\displaystyle\frac{A+B}{2}\sin\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

※その他,三角関数に関する公式まとめは「【三角関数】公式まとめ&差がつく入試問題演習

解答・解説

解答①

\(\cos a\theta=\cos b\theta\) ・・・①

\(a=b\) のとき,①はすべての \(\theta\) で成り立つため ( ※ ) を満たさない.

( ⅰ ) \(0<b<a\) のとき

\(m\) , \(n\) を整数として

① \(\iff\) \(a\theta=b\theta+2m\pi\) または \(a\theta=-b\theta+2n\pi\)

よって,

\(\theta=\displaystyle\frac{2m}{a-b}\pi\) ・・・②

\(\theta=\displaystyle\frac{2n}{a+b}\pi\) ・・・③

②のうち,正の解を小さい順に並べると

\(\theta=\displaystyle\frac{2}{a-b}\pi , \displaystyle\frac{4}{a-b}\pi , \displaystyle\frac{6}{a-b}\pi , \cdots\)

③のうち,正の解を小さい順に並べると

\(\theta=\displaystyle\frac{2}{a+b}\pi , \displaystyle\frac{4}{a+b}\pi , \displaystyle\frac{6}{a+b}\pi , \cdots\)

これらの中で最小のものは,\(\displaystyle\frac{2}{a+b}\pi\) であるから

( ※ ) を満たすのは

\(\begin{cases}0<\displaystyle\frac{2}{a+b}\pi≦\pi\\\pi<\displaystyle\frac{4}{a+b}\pi\\\pi<\displaystyle\frac{2}{a-b}\pi\end{cases}\)

\(\iff\) \(\begin{cases}2≦a+b<4\\a-b<2\end{cases}\)

( ⅱ ) \(0<a<b\) のとき

( ⅰ ) と同様に考え,\(\begin{cases}2≦a+b<4\\b-a<2\end{cases}\)

したがって,求める \((a,b)\) の範囲は

\(\begin{cases}0<b<a\\2≦a+b<4\\b>a-2\end{cases}\)

または

\(\begin{cases}0<a<b\\2≦a+b<4\\b<a+2\end{cases}\)

これを図示すると,右の図の斜線部となる.

ただし,境界線上のうち実線は含み,点線は含まない

また,\(2\) 点 \((2,0)\) , \((0,2)\) と直線 \(b=a\) 上の点は含まない

解答②(途中まで)

\(\cos a\theta=\cos b\theta\) より

\(\cos a\theta-\cos b\theta=0\)

和積の公式から

\(\cos a\theta-\cos b\theta=-2\sin\displaystyle\frac{a+b}{2}\theta\sin\displaystyle\frac{a-b}{2}\theta=0\)

\(\sin\displaystyle\frac{a+b}{2}\theta=0\) または \(\sin\displaystyle\frac{a-b}{2}\theta=0\)

整数 \(m\) , \(n\) を用いて

\(\displaystyle\frac{a+b}{2}\theta=n\pi\) または \(\displaystyle\frac{a-b}{2}\theta=m\pi\)

※以下は解法①のと同様のため省略

 

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