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「2020の2020乗」と「2021の2019乗」の大小は?【2020兵庫医科大・医|二項定理】

数学(大学入試問題)

【2020兵庫医科大学・医】

(1) \(n\) は自然数として,次の不等式を証明せよ.

\(2≦\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n<3\)

(2) 次の \(2\) つの数の大小を,不等式を用いて表せ.

\(2020^{2020}\)   ,   \(2021^{2019}\)

二項定理について

\(_{n}\rm{C}_{r} \) の和

☞ 二項定理

\(\boldsymbol{(a+b)^{n}=_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{0}a^{n}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{1}a^{n-1}b+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n-1}ab^{n-1}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n}b^{n}}\)

\(\boldsymbol{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} \hspace{0mm} _{n}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{n-k}b^{k}}\)

\(a=1 , b=x\) とすると、

\(\boldsymbol{(1+x)^{n}=_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{0}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{1}x+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{2}x^{2}+\cdots+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n-1}x^{n-1}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n}x^{n}}\)

その他、\(_{n}\rm{C}_{r} \) についての性質のまとめ

nCrに関する性質まとめ|二項定理・係数・組合せ

演習問題

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}{(-1)^{k}・k・_{10}\rm{C}_{k}}\) の値を計算せよ

補題:\(k! ≧ 2^{k-1}\) の証明

頻出の有名不等式ですので、結果を覚えていておきましょう

 \(k\) は自然数とする.\(k! ≧ 2^{k-1}\) を示せ.
\(k!=1\times 2\times 3\times \cdots \times k ≧ 1\times 2\times 2\times \cdots \times 2 = 2^{k-1}\)

よって、自然数 \(k\) に対して,\(k! ≧ 2^{k-1}\) が成り立つ.

解答

(1)

(1) \(n\) は自然数として,次の不等式を証明せよ.

\(2≦\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n<3\)

二項定理より,

\(\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n=_{n}C_{0}+_{n}C_{1}\cdot \displaystyle\frac{1}{n}+_{n}C_{2}\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)^2+\cdots+_{n}C_{n}\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^{n}\displaystyle\frac{_{n}C_{k}}{n^k}\)

なので,

\(\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n ≧ _{n}C_{0}+_{n}C_{1}\cdot \displaystyle\frac{1}{n} = 1+n\cdot \displaystyle\frac{1}{n} =2\)

よって,\(2≦\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n\)

また,

\(\displaystyle\frac{_{n}C_{k}}{n^k}=\displaystyle\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!\cdot n^k}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{k!}\cdot \displaystyle\frac{n}{n}\cdot \displaystyle\frac{n-1}{n}\cdots \cdot \displaystyle\frac{n-k+1}{n}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{k!}\cdot 1\cdot \left(1-\displaystyle\frac{1}{n}\right)\cdot \cdots \cdot\left(1-\displaystyle\frac{k-1}{n}\right) ≦ \displaystyle\frac{1}{k!}\) ・・・①

上の補題の結果から,自然数 \(k\) に対して,\(k! ≧ 2^{k-1}\) が成り立つので,

\(\displaystyle\frac{1}{k!} ≦ \displaystyle\frac{1}{2^{k-1}}\) ・・・②

また,\(\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle\frac{_{n}C_{k}}{n^k}=1+\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{_{n}C_{k}}{n^k}\) ・・・③

②は自然数 \(k\) に対して成立するので,\(k=0\) と \(k≧1\) に分けた

① 〜 ③より,

\(\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n ≦ 1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{2^{k-1}}\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{2^{k-1}}\) は初項が \(1\) , 公比が \(\displaystyle\frac{1}{2}\) , 項数が \(n\) の等比数列の和であるから,

\(1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{2^{k-1}}=1+\displaystyle\frac{1-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^n}{1-\displaystyle\frac{1}{2}}=3-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^n<3\)

よって,\(\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n<3\)

(2)

(2) 次の \(2\) つの数の大小を,不等式を用いて表せ.

\(2020^{2020}\)   ,   \(2021^{2019}\)

(1)の結果の \(\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n<3\) に \(n=2020\) を代入すると,

\(\left(\displaystyle\frac{2021}{2020}\right)^{2020}<3\)

\(\iff\) \(\displaystyle\frac{2021^{2019}}{2020^{2020}}<\displaystyle\frac{3}{2021}<1\) より,

\(2021^{2019} < 2020^{2020}\)

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