【2020横浜市立大学・医学部・第2問】
以下の問いに答えなさい.
(1) \(\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2}\) の値を求めなさい.
(2) \(\sqrt{2}\) が無理数であることを証明せよ.
(3) \(x^y\) の値が有理数になる無理数の組 \((x,y)\) が存在することを証明しなさい.
解答・解説
(1) \(\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2}\) の値
\(\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}\right)^{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\left(\sqrt{2}\right)^2=2\)
(2) \(\sqrt{2}\) が無理数であることを証明
\(\sqrt{ 2 }\) が有理数であると仮定する
互いに素な自然数 \(a , b\) を用いて
\(\sqrt{2} = \displaystyle \frac{a}{b}\) とおける.
よって \(a = \sqrt{2}b\)
両辺を2乗して、\(a^2 = 2b^2 \) ・・・ ①
よって、\(a^2\)は2の倍数であるから、\(a\)も2の倍数 ・・・ ② である.
自然数 \(k\) 用いて、\(a=2k\) とおける.
\(a=2k\) を①に代入して、\(4k^2 = 2b^2\)
つまり \(b^2=2k^2\)
よって、\(b^2\) は2の倍数であるから、\(b\)も2の倍数 ・・・ ③ である
②、③より、これは \(a , b\) が互いに素であることに矛盾する.
したがって、\(\sqrt{ 2 }\) は無理数である.
(3) \(x^y\) の値が有理数になる無理数の組 \((x,y)\) が存在することを証明
( ⅰ ) \(\sqrt{2}^\sqrt{2}\) が有理数であると仮定したとき
仮定より \(\sqrt{2}^\sqrt{2}\) は有理数,(2)より \(\sqrt{2}\) は無理数であるから,\(x^y\) の値が有理数になる無理数の組 \((x,y)\) の \(1\) つとして
\((x,y)=(\sqrt{2},\sqrt{2})\) が存在する.
( ⅱ ) \(\sqrt{2}^\sqrt{2}\) が無理数であると仮定したとき
(1)より \(\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2}\) は有理数,仮定から \(\sqrt{2}^\sqrt{2}\) が無理数,(2)より \(\sqrt{2}\) は無理数であるから,\(x^y\) の値が有理数になる無理数の組 \((x,y)\) の \(1\) つとして
\((x,y)=(\sqrt{2}^\sqrt{2},\sqrt{2})\) が存在する.
以上から,\(\sqrt{2}^\sqrt{2}\) が有理数,無理数のいずれの場合であっても,\(x^y\) の値が有理数になる無理数の組 \((x,y)\) が存在する.
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