【2020横浜市立大学・医学部・第２問】
以下の問いに答えなさい．
(１) \(\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2}\) の値を求めなさい．
(２) \(\sqrt{2}\) が無理数であることを証明せよ．
(３) \(x^y\) の値が有理数になる無理数の組 \((x,y)\) が存在することを証明しなさい．
解答・解説
(１) \(\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2}\) の値
\(\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}\right)^{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\left(\sqrt{2}\right)^2=2\)
(２) \(\sqrt{2}\) が無理数であることを証明
\(\sqrt{ 2 }\) が有理数であると仮定する
互いに素な自然数 \(a , b\) を用いて
\(\sqrt{2} = \displaystyle \frac{a}{b}\) とおける．
よって \(a = \sqrt{2}b\)
両辺を2乗して、\(a^2 = 2b^2 \) ・・・ ①
よって、\(a^2\)は2の倍数であるから、\(a\)も2の倍数 ・・・ ② である．
自然数 \(k\) 用いて、\(a=2k\) とおける．
\(a=2k\) を①に代入して、\(4k^2 = 2b^2\)
つまり \(b^2=2k^2\)
よって、\(b^2\) は2の倍数であるから、\(b\)も2の倍数 ・・・ ③ である
②、③より、これは \(a , b\) が互いに素であることに矛盾する．
したがって、\(\sqrt{ 2 }\) は無理数である．
(３) \(x^y\) の値が有理数になる無理数の組 \((x,y)\) が存在することを証明
( ⅰ ) \(\sqrt{2}^\sqrt{2}\) が有理数であると仮定したとき
仮定より \(\sqrt{2}^\sqrt{2}\) は有理数，(２)より \(\sqrt{2}\) は無理数であるから，\(x^y\) の値が有理数になる無理数の組 \((x,y)\) の \(1\) つとして
\((x,y)=(\sqrt{2},\sqrt{2})\) が存在する．
( ⅱ ) \(\sqrt{2}^\sqrt{2}\) が無理数であると仮定したとき
(１)より \(\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2}\) は有理数，仮定から \(\sqrt{2}^\sqrt{2}\) が無理数，(２)より \(\sqrt{2}\) は無理数であるから，\(x^y\) の値が有理数になる無理数の組 \((x,y)\) の \(1\) つとして
\((x,y)=(\sqrt{2}^\sqrt{2},\sqrt{2})\) が存在する．
以上から，\(\sqrt{2}^\sqrt{2}\) が有理数，無理数のいずれの場合であっても，\(x^y\) の値が有理数になる無理数の組 \((x,y)\) が存在する．
コメント