【2021千葉大学】外接する３つの円と直線、等比数列・等比中項(a,b,cがこの順で等比数列)

(１)２つの円の位置関係

２つの円の半径を $r$ , $r^{\prime}$ ( $r>r^{\prime}$ ) ，$2$ 円の中心間の距離を $d$ とする．

(１)　互いに外部にある

$r+r^{\prime}>d$

(２)　外接する(１点を共有する)

$r+r^{\prime}=d$

(３)　２点で交わる

$r-r^{\prime}<d<r+r^{\prime}$

(４)　内接する(１点を共有する)

$r-r^{\prime}=d$

(５)　一方が他方の内部にある

$r-r^{\prime}>d$

(１)解答・解説

円 $A$ , $B$ , $C$ の中心の座標をそれぞれ $A$ , $B$ , $C$ とし，またその各点から直線 $l$ に下ろした垂線 $AP$ , $BQ$ , $CR$ とする．

点 $A$ から線分 $BQ$ に下ろした垂線を $AS$ とする．

$2$ 円 $A$ , $B$ は外接するので，$AB=a^2+b^2$

また $BS=BQ-SQ=BQ-AP=b^2-a^2$ であり，

直角三角形 $ABS$ で三平方の定理から

$AS=PQ=\sqrt{(a^2+b^2)^2-(b^2-a^2)^2}=2ab$

同様に考え，$QR=2bc$ , $RP=2ca$ となる．

$PQ+RP=QR$ より

$2ab+2ca=2bc$

$(b-a)c=ab$

よって，$c=\displaystyle\frac{ab}{b-a}$

(２)等比中項

※ 数列 $a$ , $b$ , $c$ が等差数列　$\iff$　$2b=a+c$

(２)解答・解説

数列 $a$ , $b$ , $c$ は等比数列より

$b^2=ac$ ・・・①

①と(１)より

$b^2=a\cdot\displaystyle\frac{ab}{b-a}$

式を整理すると

$b^3-ab^2-a^2b=0$

$b(b^2-ab-a^2)=0$

$b>0$ であるから，

$b^2-ab-a^2=0$ ・・・②

ここで，求める公比を $r$ とおくと

$b=ar$ ( $r>1$ ) とおける．

②に代入すると

$a^2(r^2-r-1)=0$

$a>0$ より $r^2-r-1=0$

$r>1$ より

$r=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}$