【2021茨城大学・教育】pはqであるための[　]条件？｜命題の真偽

【2021茨城大学・教育・第１問(１)】

正の整数 \(a\)，\(b\) に関する \(2\) つの条件 \(p\)，\(q\) を次のように定める．

\(p\) ： \(a^2+ab+b^2\) は \(3\) の倍数である

\(q\) ： \(a+2b\) は \(3\) の倍数である

このとき，「必要条件であるが十分条件ではない」，「十分条件であるが必要条件ではない」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち，次の [ ] にあてはまるものを理由をつけて答えよ．

\(p\) は \(q\) であるための [ ]

必要条件と十分条件

\(2\) つの条件 \(p\)，\(q\) について，命題 \(p ⇒ q\) が真であるとき，

\(q\) は \(p\) であるための必要条件である，

\(p\) は \(q\) であるための十分条件であるという．

( ⅰ )　\(p ⇒ q\) について

\(a^2+ab+b^2=(a+2b)^2-3ab-3b^2\)

\(a^2+ab+b^2=(a+2b)^2-3b(a+b)\) ・・・①

\(a\)，\(b\) は正の整数より，\(b(a+b)\) は整数であるため，\(3b(a+b)\) は \(3\) の倍数である．

よって，\(a^2+ab+b^2\) が \(3\) の倍数のとき，

\((a+2b)^2\) は \(3\) の倍数となる．

つまり，\(a+2b\) が \(3\) の倍数

「\((a+2b)^2\) が \(3\) の倍数」⇒「\(a+2b\) が \(3\) の倍数」

については，補足として下記に証明を与えています。

したがって，\(p ⇒ q\) は真

( ⅱ )　\(q ⇒ p\) について

\(a+2b\) が \(3\) の倍数のとき，①より

\(a^2+ab+b^2\) も \(3\) の倍数となる．

よって，\(q ⇒ p\) は真

( ⅰ )，( ⅱ )より \(p\) \(\iff\) \(q\) となり

\(p\) は \(q\) であるための [ 必要十分条件 ] である

\(n\) は整数．「\(n^2\) が \(3\) の倍数」 ⇒ 「\(n\) は \(3\) の倍数」の証明について

対偶を利用して証明しましょう！

対偶をととると

「\(n\) が \(3\) の倍数でない」 ⇒ 「\(n^2\) は \(3\) の倍数でない」ことを示す．

整数 \(k\) を用いて

\(n=3k\pm 1\) とおける．

\(n^2=(3k\pm 1)^2=3(3k^2\pm 2k)+1\)

\(3k^2\pm 2k\) は整数より，\(n^2\) は \(3\) の倍数でない．

よって対偶が真であるから，元の命題も真である．

合同式を利用すると，\(mod 3\) として考えて

\(n≡\pm 1\) のとき \(n^2≡1\)

と解答はシンプルに済みますね！