【2021お茶の水女子大・理】楕円の接線、法線、角の二等分線について

【2021お茶の水女子大学・理・第１問】

$a>b>0$ として，座標平面上の楕円 $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1$ を $C$ とおく．

$C$ 上の点 $P(p_{1},p_{2})$ ( $p_{2}\not=0$ ) における $C$ の接線を $l$ ，法線を $n$ とする．

(１)　接線 $l$ および法線 $n$ の方程式を求めよ．

(２)　 $2$ 点 $A(\sqrt{a^2-b^2},0)$ ， $B(-\sqrt{a^2-b^2},0)$ に対して，法線 $n$ は $\angle APB$ の二等分線であることを示せ．

楕円について
解答・解説
1. (１)
  1. 楕円の接線の方程式について
  2. 楕円の法線の方程式について
2. (２)

楕円について

楕円の定義

平面上で，異なる

$2$ 定点

$F$ ，

$F^{\prime}$ から距離の和が一定である点

$P$ の軌跡を楕円という．

この

$2$ 定点

$F$ ，

$F^{\prime}$ を楕円の焦点という．

楕円の性質

楕円 $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1$ ( $a>0$ ， $b>0$ )

中心は原点，長軸の長さは $2a$ ，短軸の長さは $2b$
焦点は $2$ 点 $(\sqrt{a^2-b^2},0)$ ， $(-\sqrt{a^2-b^2},0)$
楕円は $x$ 軸， $y$ 軸，原点に関して対称である．
楕円上の点から $2$ つの焦点までの距離の和は $2a$

楕円の接線の方程式

楕円 $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $P(p_{1},p_{2})$ における楕円の接線の方程式は

$\displaystyle\frac{p_{1}x}{a^2}+\displaystyle\frac{p_{2}y}{b^2}=1$

頻出ですから結果は覚えておきましょう！

証明については，下記の(1)の解答を参考に。

解答・解説

(１)

楕円の接線の方程式について

$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1$ の両辺を $x$ で微分すると

$\displaystyle\frac{2x}{a^2}+\displaystyle\frac{2y}{b^2}\displaystyle\frac{dy}{dx}=0$

$y\not=0$ のとき $\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\displaystyle\frac{b^2x}{a^2y}$ より

求める接線の傾きは， $\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\displaystyle\frac{b^2p_{1}}{a^2p_{2}}$

よって，接線の方程式は

$y-p_{2}=-\displaystyle\frac{b^2p_{1}}{a^2p_{2}}\left(x-p_{1}\right)$

$\displaystyle\frac{p_{1}x}{a^2}+\displaystyle\frac{p_{2}y}{b^2}=\displaystyle\frac{p_{1}^2}{a^2}+\displaystyle\frac{p_{2}^2}{b^2}$

点 $P(p_{1},p_{2})$ は楕円 $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点より， $\displaystyle\frac{p_{1}^2}{a^2}+\displaystyle\frac{p_{2}^2}{b^2}=1$ より

求める接線の方程式は， $\displaystyle\frac{p_{1}x}{a^2}+\displaystyle\frac{p_{2}y}{b^2}=1$

(また， $y=p_{2}=0$ のとき $p_{1}=\pm a$ より，接線の方程式は $x=\pm a$ となり成立．)

楕円の法線の方程式について

・ $p_{1}\not=0$ のとき

$p_{2}\not=0$ のとき接線の傾きは $\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\displaystyle\frac{b^2p_{1}}{a^2p_{2}}$ より，

法線の傾きは $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{a^2p_{2}}{b^2p_{1}}$

よって法線の方程式は

$y-p_{2}=\displaystyle\frac{a^2p_{2}}{b^2p_{1}}\left(x-p_{1}\right)$

$a^2p_{2}x-b^2p_{1}y=(a^2-b^2)p_{1}p_{2}$

・ $p_{1}=0$ のとき

$p_{2}=\pm b$ で，法線の方程式は $x=0$ となり成立．

したがって法線の方程式は， $a^2p_{2}x-b^2p_{1}y=(a^2-b^2)p_{1}p_{2}$

(２)

法線 $n$ と $x$ 軸の交点を $Q$ とする．

(１)より， $Q\left(\displaystyle\frac{a^2-b^2}{a^2}p_{1},0\right)$ となる．

ここで，線分 $AP$ ， $BP$ ， $AQ$ ， $BQ$ について

$AP^2=\left(\sqrt{a^2-b^2}-p_{1}\right)^2+p_{2}^2$

$=a^2-b^2-2\sqrt{a^2-b^2}p_{1}+p_{1}^2+p_{2}^2$

$\displaystyle\frac{p_{1}^2}{a^2}+\displaystyle\frac{p_{2}^2}{b^2}=1$

$\iff$ $p_{2}^2=b^2-\displaystyle\frac{b^2p_{1}^2}{a^2}$ より

$AP^2=\left(p_{1}^2-2\sqrt{a^2-b^2}p_{1}+a^2-b^2\right)+\left(b^2-\displaystyle\frac{b^2p_{1}^2}{a^2}\right)$

$=\displaystyle\frac{a^2-b^2}{a^2}p_{1}^2-2\sqrt{a^2-b^2}p_{1}+a^2$

$=\left(\displaystyle\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}p_{1}-a\right)^2$

よって， $AP=a-\displaystyle\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}p_{1}$ ( ∵ $p_{1}<a$ )

$BP=2a-AP=a+\displaystyle\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}p_{1}$

$AQ=\sqrt{a^2-b^2}-\displaystyle\frac{a^2-b^2}{a^2}p_{1}=\displaystyle\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}AP$

$BQ=\sqrt{a^2-b^2}+\displaystyle\frac{a^2-b^2}{a^2}p_{1}=\displaystyle\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}BP$

ゆえに， $AP：BP=AQ：BQ$ が成り立つので，法線 $n$ は $\angle APB$ の二等分線となる．