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【2022奈良女子大学・理】立方体の8個の頂点から3個選んでできる三角形について

場合の数・確率

【2022奈良女子大学・理・第4問】

一辺の長さが \(1\) の立方体がある.この立方体の \(8\) 個の頂点から異なる \(3\) 個を選び,これらを頂点とする三角形をつくる.以下の問いに答えよ.

(1) 三角形は全部で何個できるか.

(2) 直角三角形は全部で何個できるか.

(3) 面積が \(\displaystyle\frac{7}{10}\) 以上である三角形は全部で何個できるか.

解答・解説

(1) 三角形は全部で何個できるか.

どの頂点を \(3\) 個選んでも,その \(3\) 点はいずれも一直線上にはない.

よって,立方体の \(8\) 個の頂点から異なる \(3\) 個を選べばよい.

\(_{8}C_{3}=\displaystyle\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=56\) 個

(2) 直角三角形は全部で何個できるか.

右図のように,立方体の頂点を \(A\),\(B\),\(C\),\(D\),\(E\),\(F\),\(G\),\(H\) とおく.

(1)で求めた \(56\) 個の三角形はいずれも,

\(\triangle ABC\) (直角二等辺三角形) ,\(\triangle ABG\) (直角三角形) ,\(\triangle ACF\) (正三角形) のいずれかと合同となる.

( ⅰ ) \(\triangle ABC\) と合同な三角形について

\(6\) 個の面それぞれに \(4\) 個ずつできるので,

\(6\times 4=24\) 個

( ⅱ ) \(\triangle ABG\) と合同な三角形について

一辺を立方体の一辺と共有しているので,\(12\) 個の辺それぞれにおいて \(2\) 個ずつできるから

\(12\times 2=24\) 個

したがって直角三角形は,\(24+24=48\) 個

(3) 面積が \(\displaystyle\frac{7}{10}\) 以上である三角形は全部で何個できるか.

( ⅰ ) \(\triangle ABC\) と合同な三角形について

\(\triangle ABC=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\displaystyle\frac{1}{2}<\displaystyle\frac{7}{10}\)

よって不適.

( ⅱ ) \(\triangle ABG\) と合同な三角形について

\(\triangle ABG=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sqrt{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\)

ここで,\(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{50}}{10}>\displaystyle\frac{\sqrt{49}}{10}=\displaystyle\frac{7}{10}\) より条件に適する.

( ⅲ ) \(\triangle ACF\) と合同な三角形について

\(\triangle ACF=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot\sin \displaystyle\frac{\pi}{3}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ここで,\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{75}}{10}>\displaystyle\frac{\sqrt{49}}{10}=\displaystyle\frac{7}{10}\) より条件に適する.

( ⅰ )〜( ⅲ ) より

\(\triangle ABG\),\(\triangle ACF\) と合同な三角形の個数を求めれば良い.

(1),(2)の結果から,\(56-24=32\) 個

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