【2003年東京大学・類題】円周率の大きさ[2021 信州大学・教育学部]

【2021　信州大学　教育学部　第2問】

（１）解答

(1)　 $\angle{AOB}=\displaystyle\frac{\pi}{12}$ より

$\sin \angle{AOB}=\sin \displaystyle\frac{\pi}{12}$

半角の公式

$\sin^{2}\displaystyle\frac{\theta}{2}=\displaystyle\frac{1-\cos \theta}{2}$

$\sin^{2}\displaystyle\frac{\pi}{12}=\displaystyle\frac{1-\cos \displaystyle\frac{\pi}{6}}{2}= \displaystyle\frac{2-\sqrt{3}}{4}$

$\sin \displaystyle\frac{\pi}{12}>0$ より

$\sin \displaystyle\frac{\pi}{12}=\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$

ここで

$\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\displaystyle\frac {4-2\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\displaystyle\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

したがって、

$\sin \displaystyle\frac{\pi}{12}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

よって $\triangle OAB=\displaystyle\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}$

(2)　面積に注目すると、

扇形 $OAB>$ $\triangle OAB$ ・・・ ①

扇形 $OAB=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1^2 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{12}=\displaystyle\frac{\pi}{24}$

(1)の結果と①から、

$\displaystyle\frac{\pi}{24}>\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}$

したがって、 $\pi>3(\sqrt{6}-\sqrt{2})$

2003年の東京大学の問題で、

「円周率が $3.05$ よりも大きいことを証明せよ．」

はとても有名ですね。

何気なく使用する円周率に関する良問です。有名な問題だからこそ、解法の流れを経験し、類題に対応できるように！