【2023自治医科大学・医】
自然数 \(N\)，\(a\) について考える．
\(N=6\times 10^{330}+5\times 10^{212}+7\times 10^{86}+3\times 10^{56}+2\times 10^{10}+326\) であるとする．
\(N+a\) が \(4\) および \(9\) の倍数となるとき，\(a\) の最小値を求めよ．
解答・解説
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合同式とは？２次試験（数学）の整数の分野で合同式が使えるかどうかは大きな差がつきます。合同式を知らない、初めて習った人のための基本性質のまとめ。
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2021.07.15
まず初めに，\(mod 4\) として考える．
\(2\) 以上の整数 \(n\) に対して，\(10^n≡0\) であるから
\(N≡326≡-2\)
よって \(N+2≡0\) ・・・①
次に，\(mod 9\) として考える．
すべての自然数 \(n\) に対して，\(10^n≡1\) であるから
\(N≡6+5+7+3+2+326≡-2\)
よって \(N+2≡0\) ・・・②
\(4\) と \(9\) は互いに素であり，①，②から，
\(N+a\) が \(4\) および \(9\) の倍数となるような最小値の自然数 \(a=2\)
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