【2022大阪公立大学・理・第２問】確率と数列の融合問題

【大阪公立大学・理・第２問】

$n$ を $2$ 以上の整数とする． $1$ から $6$ までの目のある $1$ 個のさいころを $n$ 回続けて投げるとき， $n$ 回目で初めて直前の回と同じ目が出る確率を $P_{n}$ で表す．次の問いに答えよ．

問1　 $P_{n}$ を $n$ を用いて表せ．

問2　 $S_{n}=\displaystyle\sum_{k=2}^{n}{P_{k}}$ を $n$ を用いて表せ．

問3　 $S_{n}≧\displaystyle\frac{1}{2}$ となる最小の $n$ を求めよ．

問4　 $E_{n}=\displaystyle\sum_{k=2}^{n}{kP_{k}}$ を $n$ を用いて表せ．

解答・解説

解答・解説

問1

直前の回と同じ目が出る確率は $\displaystyle\frac{1}{6}$ ，

同じ目が出ない確率は $\displaystyle\frac{5}{6}$ である．

$n≧3$ のとき

$1$ 回目のさいころはどの目が出てもよい

$2,3,\cdots,n-1$ 回目のさいころは，直前の回と異なる目が出て，

$n$ 回目に直前の回と同じ目が出るときである．

よって求める確率は，

$P_{n}=1\times \left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-2}\times \displaystyle\frac{1}{6}=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-2}$

$n=2$ のとき， $P_{2}=\displaystyle\frac{1}{6}$ となり成り立つ．

したがって， $P_{n}=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-2}$

問2

問1 より，

$S_{n}=\displaystyle\sum_{k=2}^{n}{\displaystyle\frac{1}{6}\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{k-2}}$

初項 $\displaystyle\frac{1}{6}$ ，公比 $\displaystyle\frac{5}{6}$ ，項数 $n-1$ の等比数列の和であるから

$S_{n}=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot\displaystyle\frac{1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}}{1-\displaystyle\frac{5}{6}}=1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}$

問3

$S_{n}≧\displaystyle\frac{1}{2}$

$\iff$ $1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}≧\displaystyle\frac{1}{2}$

$\iff$ $\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}≦\displaystyle\frac{1}{2}$

$\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}$ は単調減少であり，

$\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{4-1}=\displaystyle\frac{125}{216}>\displaystyle\frac{1}{2}$

$\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{5-1}=\displaystyle\frac{625}{1296}<\displaystyle\frac{1}{2}$ より

求める $n=5$

問4

問1 より

$E_{n}=\displaystyle\sum_{k=2}^{n}{k\times \displaystyle\frac{1}{6}\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{k-2}}=\displaystyle\frac{1}{6}\displaystyle\sum_{k=2}^{n}{k \left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{k-2}}$

等差×等比数列の総和について

等差数列 $\times$ 等比数列の総和(Σ)

⇒ 公比をかけて，差をとる !!

$T_{n}=\displaystyle\sum_{k=2}^{n}{k \left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{k-2}}$ とおくと

$E_{n}=\displaystyle\frac{1}{6}T_{n}$ ・・・②

$T_{n}=2+3\cdot\displaystyle\frac{5}{6}+4\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^2+\cdots+n\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-2}$

$\displaystyle\frac{5}{6}T_{n}=2\cdot\displaystyle\frac{5}{6}+3\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^2+4\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^3+\cdots+n\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}$

差をとると

$T_{n}-\displaystyle\frac{5}{6}T_{n}=2+\left\{\displaystyle\frac{5}{6}+\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^2+\cdots+\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-2}\right\}-n\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}$

$\displaystyle\frac{1}{6}T_{n}=7-(n+6)\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}$

したがって②より，

$E_{n}=7-(n+6)\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}$