【2023琉球大学・理系(第4問)】
\(1\) 個のさいころを \(6\) の目が \(2\) 回出るまで投げ続ける．\(k=1,2,3,\cdots\) に対して \(p_{k}\) を \(k+1\) 回目に \(2\) 回目の \(6\) の目が出る確率とするとき，次の問いに答えよ．
問1 \(p_{k}\) を求めよ．
問2 \(p_{k}\) を最大にする \(k\) の値を求めよ．
問3 \(S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{p_{k}}\) を求めよ．
解答・解説
問1 \(p_{k}\) を求めよ．
\(k+1\) 回目に \(2\) 回目の \(6\) の目が出るのは，\(k\) 回目までに \(6\) の目が出て，\(k+1\) 回目に \(6\) の目が出るときである．
よって，\(p_{k}=_{k}C_{1}\displaystyle\frac{1}{6}\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{k-1}\times\displaystyle\frac{1}{6}=\displaystyle\frac{k\cdot 5^{k-1}}{6^{k+1}}\)
問2 \(p_{k}\) を最大にする \(k\) の値を求めよ．
【数学A】確率Pnの最大値の求め方・考え方（2018関西学院大学）
問1の結果を利用すると
\(\displaystyle\frac{p_{k+1}}{p_{k}}=\displaystyle\frac{(k+1)\cdot 5^{k}}{6^{k+2}}\times\displaystyle\frac{6^{k+1}}{k\cdot 5^{k-1}}=\displaystyle\frac{5(k+1)}{6k}\)
( ⅰ ) \(\displaystyle\frac{p_{k+1}}{p_{k}}>1\)
\(\iff\) \(\displaystyle\frac{5(k+1)}{6k}>1\) \(\iff\) \(k<5\) のとき
\(p_{1}<p_{2}<p_{3}<p_{4}<p_{5}\) ・・・①
( ⅱ ) \(\displaystyle\frac{p_{k+1}}{p_{k}}=1\)
\(\iff\) \(k=5\) のとき
\(p_{5}=p_{6}\) ・・・②
( ⅲ ) \(\displaystyle\frac{p_{k+1}}{p_{k}}<1\)
\(\iff\) \(k>5\) のとき
\(p_{6}>p_{7}>p_{8}>p_{9}>\cdots\) ・・・③
①～③より
\(k=5,6\) のとき \(p_{k}\) は最大となる．
問3 \(S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{p_{k}}\) を求めよ．
等差数列 \(\times\) 等比数列の総和(Σ)
⇒ 公比をかけて，差をとる．
\(S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^n\displaystyle\frac{k\cdot 5^{k-1}}{6^{k+1}}=\displaystyle\frac{1}{36}\sum_{k=1}^nk\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{k-1}\)
ここで，\(T_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^nk\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{k-1}\) とおく\(\left(S_{n}=\displaystyle\frac{1}{36}T_{n}\right)\)
\(T_{n}=1+2\cdot\displaystyle\frac{5}{6}+3\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^2+\cdots+n\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}\) ・・・①
\(\displaystyle\frac{5}{6}T_{n}=1\cdot\displaystyle\frac{5}{6}+2\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^2+3\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^3\cdots+n\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n}\) ・・・②
①－②より
\(\displaystyle\frac{1}{6}T_{n}=1+\displaystyle\frac{5}{6}+\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^3+\cdots+\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{n-1}-n\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n\)
\(=\displaystyle\frac{1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n}{1-\displaystyle\frac{5}{6}}-n\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n \)
\(=6\left\{1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n\right\}-n\cdot\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n \)
よって，\( S_{n}=\displaystyle\frac{1}{36}T_{n}=1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n-\displaystyle\frac{n}{6}\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n\)
したがって，\(S_{n}=1-\displaystyle\frac{n+6}{6}\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n\)
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