【2023一橋大学・第１問】
\(n\) を \(2\) 以上 \(20\) 以下の整数，\(k\) を \(1\) 以上 \(n-1\) 以下の整数とする．
\(_{n+2}C_{k+1}=2\left(_{n}C_{k-1}+_{n}C_{k+1}\right)\)
が成り立つような整数の組 \((n,k)\) を求めよ．
解答・解説
\(_{n+2}C_{k+1}=2\left(_{n}C_{k-1}+_{n}C_{k+1}\right)\)
\(\displaystyle\frac{(n+2)!}{(k+1)!(n-k+1)!}=2\left\{\displaystyle\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+\displaystyle\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\right\}\)
\((n+1)(n+2)=2\left\{k(k+1)+(n-k)(n-k+1)\right\}\)
\(4k^2-4nk+n^2-n-2=0\) ・・・①
①の判別式を \(D\) とすると
\(\displaystyle\frac{D}{4}=(-2n)^2-4(n^2-n-2)=4n+8>0\)
より①は異なる \(2\) つの実数解をもつ．
\(k=\displaystyle\frac{2n\pm\sqrt{4n+8}}{4}=\displaystyle\frac{n\pm\sqrt{n+2}}{2}\)
\(k\) は整数であるためには，\(\sqrt{n+2}\) が整数であることが必要
つまり，\(n+2\) が平方数であることが必要．
\(2≦n≦20\) において \(n+2\) が平方数となるのは，\(n=2,7,14\)
・\(n=2\) のとき
\(k=0,2\) となるが，
\(1≦k≦n-1\) つまり \(k=1\) より不適．
・\(n=7\) のとき
\(k=2,5\) となり
\(1≦k≦n-1\) つまり \(1≦k≦6\) より両方とも適する．
・\(n=14\) のとき
\(k=5,9\) となり
\(1≦k≦n-1\) つまり \(1≦k≦13\) より両方とも適する．
したがって，
\((n,k)=(7,2),(7,5),(14,5),(14,9)\)
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