【2023関西医科大学・医学部・第１問】
(１) \((a+1)(a-1)(b+1)(b-1)-4ab\) を因数分解せよ．
(２) \((a+1)(a-1)(b+1)(b-1)=4ab\) を満たす整数 \(a\)，\(b\) の組で，\(a<b\) の条件を満たすものは [ ア ] 組あり，そのなかで \(a\)，\(b\) のどちらも正の整数となる組 \((a,b)\) は [ イ ] である．
考え方・方針
因数分解の手順について
- 共通因数でくくる（分母も！）
- 公式の利用
- 最低次数の文字に注目
整数問題のPoint
まず整数問題すべてに共通して言えるPointは
- 積の形に変形
- 条件から範囲を絞る
- 倍数や余りに注目
整数問題の多くが、上の１から３のいずれかで処理できます。
解答・解説
(１) \((a+1)(a-1)(b+1)(b-1)-4ab\) を因数分解
\(a\) について降べきの順に並べると
\((b+1)(b-1)a^2-4ba-(b+1)(b-1)\)
\(=\left\{(b+1)a+(b-1)\right\}\left\{(b-1)a-(b+1)\right\}\)
\(=(ab+a+b-1)(ab-a-b-1)\)
(２) \((a+1)(a-1)(b+1)(b-1)=4ab\) を満たす整数
(１)より
\((a+1)(a-1)(b+1)(b-1)=4ab\)
\(\iff\) \((ab+a+b-1)(ab-a-b-1)=0\)
\(ab+a+b-1=0\) または \(ab-a-b-1=0\)
( ⅰ ) \(ab+a+b-1=0\) のとき
\((a+1)(b+1)=2\)
\(a<b\) より \(a+1<b+1\) なので
\((a+1,b+1)=(1,2),(-2,-1)\)
よって，\((a,b)=(0,1),(-3,-2)\)
( ⅱ ) \(ab-a-b-1=0\) のとき
\((a-1)(b-1)=2\)
\(a<b\) より \(a-1<b-1\) なので
\((a-1,b-1)=(1,2),(-2,-1)\)
よって，\((a,b)=(2,3),(-1,0)\)
したがって，整数 \(a\)，\(b\) の組は \(4\) 組あり，
\(a\)，\(b\) のどちらも正の整数となる組 \((a,b)=(2,3)\)
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