【2023京都大学・理系・第１問】部分積分、x^2023-1をx^4+x^3+x^2+x+1で割った余り

解答・解説

問１　$\displaystyle\int^{4}_{1}\sqrt{x}\log{(x^2)} dx$ の値

$\displaystyle\int^{4}_{1}\sqrt{x}\log{(x^2)} dx=2\displaystyle\int^{4}_{1}\sqrt{x}\log{x} dx$

$=2\displaystyle\int^{4}_{1}\left(\displaystyle\frac{2}{3}x^{ \frac{3}{2}}\right)^{\prime}\log{x}dx$

$=2\Bigl[\displaystyle\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\log{x}\Bigr]^{4}_{1}-2\displaystyle\int^{4}_{1}\displaystyle\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\cdot\displaystyle\frac{1}{x} dx$

$=2\cdot\displaystyle\frac{2}{3}\cdot 8\cdot \log{4}-\displaystyle\frac{4}{3}\displaystyle\int^{4}_{1}x^{\frac{1}{2}} dx$

$=\displaystyle\frac{64}{3}\log{2}-\displaystyle\frac{4}{3}\Bigl[\displaystyle\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\Bigr]^{4}_{1}$

$=\displaystyle\frac{64}{3}\log{2}-\displaystyle\frac{56}{9}$

問２　$x^{2023}-1$ を $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割ったときの余り

$x^{2023}-1=(x-1)(x^{2022}+x^{2021}+\cdots+x+1)$

ここで，

$x^{2022}+x^{2021}+\cdots+x+1$

$=x^{2018}(x^4+x^3+x^2+x+1)$

$+x^{2013}(x^4+x^3+x^2+x+1)$

$+\cdots$

$+x^{3}(x^4+x^3+x^2+x+1)$

$+x^2+x+1$ より

$x^{2022}+x^{2021}+\cdots+x+1\\=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^{2018}+x^{2013}+\cdots+x^3)+x^2+x+1$

両辺に $x-1$ をかけると

$x^{2023}-1\\=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^{2018}+x^{2013}+\cdots+x^3)+(x-1)(x^2+x+1)$

よって，$x^{2023}-1$ を $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割った余りは $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$

【2023京都大学・文理・第２問】空間の２直線が交点をもつときの線分比｜空間ベクトル

空間内の２直線が交点をもつ条件。共線条件からそれぞれの直線上の点を表現し、それら２点が一致するという考えから解く。2023京都大学・文理共通・第２問。解答・解説。数学B：空間ベクトル

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2023.02.26