【2022明治大学・情報コミュニケーション[Ⅳ]】
\(n\)、\(p\) はともに \(2\) より大きな自然数である．また、\(p\) は素数である．このとき、次の問に答えよ．
(１) \(2n+1\) が \(p\) で割り切れるとき、\(n\) は \(p\) で割り切れないことを示せ．
(２) \(n\) と \(2n+1\) は互いに素であることを示せ．
(３) \(n^3+8n\) が \(2n+1\) で割り切れるときの \(n\) の値をすべて求めよ．
(１)背理法の利用
『〇〇ない』ことを示せの形を見たら、１つの解法として背理法を！
つまり『○○できる』と仮定して、矛盾を導きましょう！
\(n\) は \(p\) で割り切れると仮定する．
条件から、\(2n+1\) が \(p\) で割り切れるので、自然数 \(a\)、\(b\) を用いて、
\(n=ap\) ・・・①
\(2n+1=bp\) ・・・②
とおくことができる．
①を②に代入すると、\(2ap+1=bp\)
よって、\((b-2a)p=1\)
\(b-2a\) は整数であるから、\((b-2a,p)=(1,1),(-1,-1)\) のいずれかであるが、
これは \(p\) が \(2\) より大きな自然数であることに矛盾する．
したがって、\(2n+1\) が \(p\) で割り切れるとき、\(n\) は \(p\) で割り切れない．
(２)互いに素であることの証明について
互いに素であることの証明について
- 最大公約数 \(g\) が１であることを直接示す
- 背理法（最大公約数 \(g\) が２以上と仮定）の利用
- ユークリッドの互除法の利用
- 「\(a , b\) が互いに素」\(\Leftrightarrow\) 「\(ax+by=1\) が整数解をもつ」の利用
(2)解答①：最大公約数が \(1\) であることを示す
\(n\) と \(2n+1\) の最大公約数を \(g>0\) とおく．
このとき、互いに素な自然数 \(x\)、\(y\) を用いて
\(n=gx\)、\(2n+1=gy\) とおける．
\(n\) を消去すると、\(2gx+1=gy\)
よって、\((y-2x)g=1\)
\(y-2x\) は整数であるから、\(g=1\)
つまり、\(n\) と \(2n+1\) の最大公約数が \(1\) となる．
したがって、\(n\) と \(2n+1\) は互いに素である．
(2)解答②：ユークリッドの互除法の利用
【ユークリッドの互除法】
\(2\) つの自然数 \(a\) 、\(b\) において、\(a\) を \(b\) で割ったときの商を \(q\)、余りを \(r\)
つまり、\(a=bq+r\) のとき
\(a\) と \(b\) の最大公約数は、\(b\) と \(r\) の最大公約数に等しい
⏬の記事は類題演習になります。演習にどうぞ！
\(2n+1=2\times n+1\) であるから、ユークリッドの互除法より、
\(2n+1\) と \(n\) の最大公約数は、
\(n\) と \(1\) の最大公約数に等しい．
つまり、\(2n+1\) と \(n\) の最大公約数は \(1\)
したがって、\(n\) と \(2n+1\) は互いに素である．
(３) 解答
\(n^3+8n\) が \(2n+1\) で割り切れるとき、整数 \(c\) を用いて、
\(n^3+8n=c(2n+1)\) とおける．
\(n(n^2+8)=c(2n+1)\)
(２)より、\(n\) と \(2n+1\) は互いに素であるから
\(n^2+8\) は \(2n+1\) の倍数となる．
\(n^2+8\) を \(2n+1\) で割ると、
\(n^2+8=(2n+1)\left(\displaystyle\frac{1}{2}n-\displaystyle\frac{1}{4}\right)+\displaystyle\frac{33}{4}\)
両辺を \(4\) 倍すると、
\(4(n^2+8)=(2n+1)(2n-1)+33\) ・・・③
ここで \(2n+1\) は奇数であり、\(4\) と \(2n+1\) は互いに素であるから、 \(n^2+8\) が \(2n+1\) で割り切れることと、 \(4(n^2+8)\) が \(2n+1\) で割り切れることは同値である．
したがって③より、\(33\) が \(2n+1\) で割り切れることと同値である．
\(n≧3\) より、\(2n+1≧7\)
つまり、\(2n+1\) は \(7\) 以上の奇数．
\(33\) の約数のうち、 \(7\) 以上の奇数は \(11\) または \(33\)
したがって、\(2n+1=11 , 33\)
\(n=5 , 16\)
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