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2022明治大学・情報コミ[Ⅳ]n^3+8nが2n+1で割り切れるn

数学(大学入試問題)

【2022明治大学・情報コミュニケーション[Ⅳ]】

\(n\)、\(p\) はともに \(2\) より大きな自然数である.また、\(p\) は素数である.このとき、次の問に答えよ.

(1) \(2n+1\) が \(p\) で割り切れるとき、\(n\) は \(p\) で割り切れないことを示せ.

(2) \(n\) と \(2n+1\) は互いに素であることを示せ.

(3) \(n^3+8n\) が \(2n+1\) で割り切れるときの \(n\) の値をすべて求めよ.

 

(1)背理法の利用

『〇〇ない』ことを示せの形を見たら、1つの解法として背理法を!

つまり『○○できる』と仮定して、矛盾を導きましょう!

\(n\) は \(p\) で割り切れると仮定する.

条件から、\(2n+1\) が \(p\) で割り切れるので、自然数 \(a\)、\(b\) を用いて、

\(n=ap\) ・・・①

\(2n+1=bp\) ・・・②

とおくことができる.

①を②に代入すると、\(2ap+1=bp\)

よって、\((b-2a)p=1\)

\(b-2a\) は整数であるから、\((b-2a,p)=(1,1),(-1,-1)\) のいずれかであるが、

これは \(p\) が \(2\) より大きな自然数であることに矛盾する.

したがって、\(2n+1\) が \(p\) で割り切れるとき、\(n\) は \(p\) で割り切れない.

(2)互いに素であることの証明について

互いに素であることの証明について

  1. 最大公約数 \(g\) が1であることを直接示す
  2. 背理法(最大公約数 \(g\) が2以上と仮定)の利用
  3. ユークリッドの互除法の利用
  4. 「\(a , b\) が互いに素」\(\Leftrightarrow\) 「\(ax+by=1\) が整数解をもつ」の利用
※互いに素・・・最大公約数が「1」である

 

(2)解答①:最大公約数が \(1\) であることを示す

\(n\) と \(2n+1\) の最大公約数を \(g>0\) とおく.

このとき、互いに素な自然数 \(x\)、\(y\) を用いて

\(n=gx\)、\(2n+1=gy\) とおける.

\(n\) を消去すると、\(2gx+1=gy\)

よって、\((y-2x)g=1\)

\(y-2x\) は整数であるから、\(g=1\)

つまり、\(n\) と \(2n+1\) の最大公約数が \(1\) となる.

したがって、\(n\) と \(2n+1\) は互いに素である.

(2)解答②:ユークリッドの互除法の利用

【ユークリッドの互除法】

\(2\) つの自然数 \(a\) 、\(b\) において、\(a\) を \(b\) で割ったときの商を \(q\)、余りを \(r\)

つまり、\(a=bq+r\) のとき

\(a\) と \(b\) の最大公約数は、\(b\) と \(r\) の最大公約数に等しい

⏬の記事は類題演習になります。演習にどうぞ!

整数問題|ユークリッドの互除法・最大公約数[入試問題演習]
合同式、ユークリッドの互除法を用いた入試問題演習。数学A・整数問題・良問

 

\(2n+1=2\times n+1\) であるから、ユークリッドの互除法より、

\(2n+1\) と \(n\) の最大公約数は、

\(n\) と \(1\) の最大公約数に等しい.

つまり、\(2n+1\) と \(n\) の最大公約数は \(1\)

したがって、\(n\) と \(2n+1\) は互いに素である.

(3) 解答

\(n^3+8n\) が \(2n+1\) で割り切れるとき、整数 \(c\) を用いて、

\(n^3+8n=c(2n+1)\) とおける.

\(n(n^2+8)=c(2n+1)\)

(2)より、\(n\) と \(2n+1\) は互いに素であるから

\(n^2+8\) は \(2n+1\) の倍数となる.

\(n^2+8\) を \(2n+1\) で割ると、

\(n^2+8=(2n+1)\left(\displaystyle\frac{1}{2}n-\displaystyle\frac{1}{4}\right)+\displaystyle\frac{33}{4}\)

両辺を \(4\) 倍すると、

\(4(n^2+8)=(2n+1)(2n-1)+33\) ・・・③

ここで \(2n+1\) は奇数であり、\(4\) と \(2n+1\) は互いに素であるから、 \(n^2+8\) が \(2n+1\) で割り切れることと、 \(4(n^2+8)\) が \(2n+1\) で割り切れることは同値である.

したがって③より、\(33\) が \(2n+1\) で割り切れることと同値である.

\(n≧3\) より、\(2n+1≧7\)

つまり、\(2n+1\) は \(7\) 以上の奇数.

\(33\) の約数のうち、 \(7\) 以上の奇数は \(11\) または \(33\)

したがって、\(2n+1=11 , 33\)

\(n=5 , 16\)

 

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