【2023東京大学・文科・第１問】
\(k\) を正の実数とし，\(2\) 次方程式 \(2x^2+x-k=0\) の \(2\) つの実数解を \(\alpha\)，\(\beta\) とする．\(k\) が \(k>2\) の範囲を動くとき，
\(\displaystyle\frac{\alpha^3}{1-\beta}+\displaystyle\frac{\beta^3}{1-\alpha}\)
の最小値を求めよ．
解答・解説
解と係数の関係
\(ax^2+bx+c=0\) の \(2\) 解が \(x=\alpha\)，\(\beta\) のとき
\(\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}\)，\(\alpha\beta=\displaystyle\frac{c}{a}\)
\(2\) 次方程式 \(2x^2+x-k=0\) の \(2\) つの実数解を \(\alpha\)，\(\beta\) より
解と係数の関係から
\(\alpha+\beta=-1\)，\(\alpha\beta=-k\) ・・・①
\(\displaystyle\frac{\alpha^3}{1-\beta}+\displaystyle\frac{\beta^3}{1-\alpha}\)
\(=\displaystyle\frac{\alpha^3(1-\alpha)+\beta^3(1-\beta)}{(1-\alpha)(1-\beta)}\)
\(=\displaystyle\frac{\alpha^3+\beta^3-(\alpha^4+\beta^4)}{1-(\alpha+\beta)+\alpha\beta}\) ・・・②
対称式
・\(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\)
・\(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\)
・\(x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2\)
ここで①より
\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=2k+1\)
\(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=-3k-1\)
\(\alpha^4+\beta^4=(\alpha^2+\beta^2)^2-2(\alpha\beta)^2\)
\(=(2k+1)^2-2(-k)^2=2k^2+4k+1\)
②に代入すると
\(\displaystyle\frac{\alpha^3}{1-\beta}+\displaystyle\frac{\beta^3}{1-\alpha}\)
\(=\displaystyle\frac{2k^2+7k+2}{k-2}=f(k)\) とおく
ここで \(2k^2+7k+2=(k-2)(2k+11)+24\) より
\(f(k)=\displaystyle\frac{(k-2)(2k+11)+24}{k-2}=2k+11+\displaystyle\frac{24}{k-2}\)
\(=2(k-2)+\displaystyle\frac{24}{k-2}+15\)
【相加平均・相乗平均の関係】
\(A≧0 , B≧0\) のとき
\(A+B≧2\sqrt{AB}\)
等号成立は、\(A=B\) のとき
\(k>2\) より \(k-2>0\) なので相加平均・相乗平均の関係から
\(2(k-2)+\displaystyle\frac{24}{k-2}≧2\sqrt{2(k-2)\times \displaystyle\frac{24}{k-2}}=8\sqrt{3}\)
両辺に \(15\) を加えると
\(f(k)≧8\sqrt{3}+15\)
等号成立は，\(2(k-2)=\displaystyle\frac{24}{k-2}\)
\((k-2)^2=12\)
\(k-2>0\) より \(k=2\sqrt{3}+2\)
したがって，\(k=2\sqrt{3}+2\) のとき最小値：\(8\sqrt{3}+15\)
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