【2023上智大学・経済・第１問(４)】
平方数とは自然数の \(2\) 乗で表される数である．\(1\)，\(4\)，\(9\)，\(16\)，\(\cdots\) は平方数である．
\(x\) を自然数とする．\(x\) 以下の平方数のうち \(5\) で割ると余りが \(j\) となるものの個数を \(N(x,j)\) と表す．例えば，\(N(10,0)=0\)，\(N(10,1)=1\)，\(N(10,2)=0\)，\(N(10,3)=0\)，\(N(10,4)=2\) である．
( ⅰ ) \(N(1000,0)=\) [ エ ] ，\(N(1000,2)=\) [ オ ] である．
( ⅱ ) \(N(x,1)=3\) を満たす最大の \(x\) は [ カ ] である．
平方数・指数は合同式が有効
平方数と合同式は非常に相性抜群です！特に \(mod 3\) や \(mod 4\) は頻出です！
- mod ３ ➡ 「０、１」のみ
- mod ４ ➡ 「０、１」のみ
- mod ５ ➡ 「０、１、４」のみ
- mod ８ ➡ 「０、１、４」のみ
解答・解説
( ⅰ ) 以下，\(mod5\) として考える．
\(n\) を自然数とすると，
\(n≡0,\pm 1,\pm 2\) のとき \(n^2≡0,1,4\) ・・・①
\(N(1000,0)\) を満たすのは
\(5^2,10^2,15^2,20^2,25^2,30^2\) の \(6\) 個
\(N(1000,0)=6\) ・・・[ エ ]
①より \(N(1000,2)\) は存在しないため
\(N(1000,2)=0\) ・・・[ オ ]
( ⅱ )
①より，\(n^2≡1\) \(\iff\) \(n≡\pm 1\) ( \(mod5\) ) なので，
\(5\) で割った余りが \(1\) となる平方数は小さい順に
\(1^2,4^2,6^2,9^2,\cdots\) となる．
よって，\(N(x,1)=3\) を満たす最大の \(x\) は \(9^2-1=\) \(80\) ・・・[ カ ]
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