【2024一橋大学・第３問】
\(f(x)\) は \(x\) に関する \(4\) 次多項式で \(4\) 次の係数は \(1\) である．\(f(x)\) は \((x+1)^2\) で割ると \(1\) 余り，\((x-1)^2\) で割ると \(2\) 余る．\(f(x)\) を求めよ．
剰余の定理、平方剰余
整式 \(P(x)\) を \(x-k\) で割ったときの商を \(Q(x)\)，余りを \(R\) とすると
\(P(x)=(x-k)Q(x)+R\) と表され，この式に \(x=k\) を代入すると
\(P(k)=R\) が導ける．
整式 \(P(x)\) を \((x-k)^2\) で割った余りが \(ax+b\) について
\(P(k)=ak+b\) かつ \(P^{\prime}(k)=a\) が成立
数学Ⅲの微分の知識が必要になるのですが，とても便利な公式ですので，文系の方も覚えておこう！
整式 \(P(x)\) を \((x-k)^2\) で割ったときの商が \(Q(x)\)，余りが \(ax+b\) のとき
\(P(x)=(x-k)^2Q(x)+ax+b\) とおける．
これに \(x=k\) を代入すると，\(P(k)=ak+b\) が導ける．
また，積の微分 \(\left\{ f(x)g(x)\right\}^{\prime}= f^{\prime}(x)g(x)+f(x) g^{\prime}(x)\) を利用すると，
\(P^{\prime}(x)=2(x-k)Q(x)+(x-k)^2Q^{\prime}(x)+a\)
これに \(x=k\) を代入すると，\(P^{\prime}(k)=a\) が導ける．
解答・解説
\(f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\) とおくと，\(f^{\prime}(x)=4x^3+3ax^2+2bx+c\)
\(f(x)\) は \((x+1)^2\) で割ると \(1\) 余るので
\(f(-1)=1\)，\(f^{\prime}(-1)=0\) を満たす．
\(f(-1)=1\) より
\(1-a+b-c+d=1\) \(\iff\) \(a-b+c-d=0\) ・・・①
\(f^{\prime}(-1)=0\) より
\(-4+3a-2b+c=0\) \(\iff\) \(3a-2b+c=4\) ・・・②
また \(f(x)\) は \((x-1)^2\) で割ると \(2\) 余るので
\(f(1)=2\)，\(f^{\prime}(1)=0\)
\(f(1)=2\) より
\(f(1)=1+a+b+c+d=2\) \(\iff\) \(a+b+c+d=1\) ・・・③
\(f^{\prime}(1)=0\) より
\(4+3a+2b+c=0\) \(\iff\) \(3a+2b+c=-4\) ・・・④
①～④を解くと
\(a=-\displaystyle\frac{1}{4}\)，\(b=-2\)，\(c=\displaystyle\frac{3}{4}\)，\(d=\displaystyle\frac{5}{2}\)
したがって，\(f(x)=x^4-\displaystyle\frac{1}{4}x^3-2x^2+\displaystyle\frac{3}{4}x+\displaystyle\frac{5}{2}\)
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