【2024一橋大学・第３問】式と証明｜４次関数の決定、剰余の定理

剰余の定理、平方剰余

整式 $P(x)$ を $x-k$ で割ったときの商を $Q(x)$，余りを $R$ とすると

$P(x)=(x-k)Q(x)+R$ と表され，この式に $x=k$ を代入すると

$P(k)=R$ が導ける．

数学Ⅲの微分の知識が必要になるのですが，とても便利な公式ですので，文系の方も覚えておこう！

整式 $P(x)$ を $(x-k)^2$ で割ったときの商が $Q(x)$，余りが $ax+b$ のとき

$P(x)=(x-k)^2Q(x)+ax+b$ とおける．

これに $x=k$ を代入すると，$P(k)=ak+b$ が導ける．

また，積の微分 $\left\{ f(x)g(x)\right\}^{\prime}= f^{\prime}(x)g(x)+f(x) g^{\prime}(x)$ を利用すると，

$P^{\prime}(x)=2(x-k)Q(x)+(x-k)^2Q^{\prime}(x)+a$

これに $x=k$ を代入すると，$P^{\prime}(k)=a$ が導ける．

解答・解説

$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ とおくと，$f^{\prime}(x)=4x^3+3ax^2+2bx+c$

$f(x)$ は $(x+1)^2$ で割ると $1$ 余るので

$f(-1)=1$，$f^{\prime}(-1)=0$ を満たす．

$f(-1)=1$ より

$1-a+b-c+d=1$ $\iff$ $a-b+c-d=0$ ・・・①

$f^{\prime}(-1)=0$ より

$-4+3a-2b+c=0$ $\iff$ $3a-2b+c=4$ ・・・②

また $f(x)$ は $(x-1)^2$ で割ると $2$ 余るので

$f(1)=2$，$f^{\prime}(1)=0$

$f(1)=2$ より

$f(1)=1+a+b+c+d=2$ $\iff$ $a+b+c+d=1$ ・・・③

$f^{\prime}(1)=0$ より

$4+3a+2b+c=0$ $\iff$ $3a+2b+c=-4$ ・・・④

①～④を解くと

$a=-\displaystyle\frac{1}{4}$，$b=-2$，$c=\displaystyle\frac{3}{4}$，$d=\displaystyle\frac{5}{2}$

したがって，$f(x)=x^4-\displaystyle\frac{1}{4}x^3-2x^2+\displaystyle\frac{3}{4}x+\displaystyle\frac{5}{2}$