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【2021早稲田大学・商】1/x+2/y+3/z=1のとき(x-1)(y-2)(z-3)の最小値|相加・相乗平均

数学(大学入試問題)

【2021早稲田大学・商】

正の実数 \(x\),\(y\),\(z\) が \(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{2}{y}+\displaystyle\frac{3}{z}=1\) を満たすとき,

\((x-1)(y-2)(z-3)\) の最小値を求めよ.

相加平均・相乗平均の関係

ヒント

\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{2}{y}+\displaystyle\frac{3}{z}=1\) ・・・①

\((x-1)(y-2)(z-3)=xyz\left(1-\displaystyle\frac{1}{x}\right)\left(1-\displaystyle\frac{2}{y}\right)\left(1-\displaystyle\frac{3}{z}\right)\) ・・・②

①より、

\(1-\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{2}{y}+\displaystyle\frac{3}{z}\)

\(1-\displaystyle\frac{2}{y}=\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{3}{z}\)

\(1-\displaystyle\frac{3}{z}=\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{2}{y}\)

となり、逆数の和の形ができる!

相加平均・相乗平均の関係

\(A≧0 , B≧0\) のとき

\(A+B≧2\sqrt{AB}\)

等号成立は、\(A=B\) のとき

相加相乗を使うタイミングなどについては、以下の記事を参考にしてください!

相加平均・相乗平均の関係はいつ使う?使うタイミングの見抜き方(基本)

相加平均・相乗平均の関係はいつ使う?使うタイミングの見抜き方(発展)

相加平均・相乗平均の関係については、ただ公式を覚えているだけでは役に立ちません。

入試問題でも頻出テーマの1つですから、しっかりと使いこなせることが出来るように!

解答

\(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{2}{y}+\displaystyle\frac{3}{z}=1\) ・・・① とおく.

\((x-1)(y-2)(z-3)=xyz\left(1-\displaystyle\frac{1}{x}\right)\left(1-\displaystyle\frac{2}{y}\right)\left(1-\displaystyle\frac{3}{z}\right)\) ・・・②

①より、

\(1-\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{2}{y}+\displaystyle\frac{3}{z}\)

\(y>0\),\(z>0\) であるから相加平均・相乗平均の関係から

\(\displaystyle\frac{2}{y}+\displaystyle\frac{3}{z}≧2\sqrt{\displaystyle\frac{6}{yz}}\)

同様に考え,

\(1-\displaystyle\frac{2}{y}=\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{3}{z}\)\(≧2\sqrt{\displaystyle\frac{3}{xz}}\)

\(1-\displaystyle\frac{3}{z}=\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{2}{y}\)\(≧2\sqrt{\displaystyle\frac{2}{xy}}\)

②より,

\((x-1)(y-2)(z-3)≧xyz\cdot 2^3 \sqrt{\displaystyle\frac{6}{yz}\cdot \displaystyle\frac{3}{xz}\cdot \displaystyle\frac{2}{xy}}=48\)

等号が成立するのは,① かつ \(\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{2}{y}=\displaystyle\frac{3}{z}\)

\(\iff\) \(\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{2}{y}=\displaystyle\frac{3}{z}=\displaystyle\frac{1}{3}\)

\(\iff\) \(x=3\),\(y=6\),\(z=9\) のとき

したがって,\(x=3\),\(y=6\),\(z=9\) のとき最小値は \(48\)

《参考》等号成立について

上の解答において,\((x-1)(y-2)(z-3)≧48\) がわかった時点で最小値が \(48\) としてはいけないのか?

結論として,マーク形式(答えのみ)であればOKだと思います!

しかし,記述の問題においては絶対にNG!

必ず等号成立を言うようにしてください!

その理由について⏬を参考にしてください!

最大値とは?等号成立の必要性について
以下「≦」の記号の意味は「<」または「=」であることの確認がまず第一。 その上で、最大値・最小値の定義にを考えると、等号成立の重要性が理解できる。

 

【09大阪教育大学】数学Ⅱの頻出テーマ:不等式の証明・相加相乗平均を利用した発展・応用問題
x>0,x^8(y-x^2)≧4を満たすとき,x(x+y)≧4の不等式の証明。有名・頻出の相加平均・相乗平均の関係を利用する発展・応用問題。誘導の流れに乗って考える。 数学2。2次試験対策、過去問演習。

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