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 【2024立命館大学(全学統一)・文系】2024の素因数分解、√2024kの正の約数の個数が20個

2024年入試問題

【2024立命館大学(全学統一)・文系・第1問〔2〕】

(1)整数 \(2024\) を素数の積で表すと,

\(2024=\)《ケ》×《コ》×《サ》×《シ》×《ス》となる.

ただし,《ケ》≦《コ》≦《サ》≦《シ》≦《ス》とする.

(2) \(k\) を自然数とし,\(n=\sqrt{2024k}\) とする.

\(n\) が \(4\) 桁の整数となるとき, \(n\) の最大値は《セ》,\(n\) の最小値は《ソ》である.また,\(n\) の正の約数の個数が \(20\) であるとき \(n=\)《タ》である.

正の約数の個数・総和の公式

自然数 \(n\) の素因数分解が

\(n=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times\cdots\times p_{k}^{a_{k}}\) のとき

ただし、\(p_{1}<p_{2}<\cdots<p_{k}\) を満たす素数、\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{k},k\) は自然数

正の約数の個数

\((a_{1}+1)(a_{2}+1)\cdots(a_{k}+1)\)

正の約数の総和

\((1+p_{1}+p_{1}^2+\cdots+p_{1}^{a_{1}})(1+p_{2}+p_{2}^2+\cdots+p_{2}^{a_{2}})\cdots(1+p_{k}+p_{k}^2+\cdots+p_{k}^{a_{k}})\)

【2023国際基督教大学】正の約数の個数と素数
2022の正の約数の個数、正の約数の個数が3個になる100以下の自然数。2023国際基督教大学・教養(アーツ・サイエンス)過去問題、解答、解説。数学A

解答・解説

\(2024\) を素因数分解すると,

\(2024=2\times2\times2\times11\times23\) ・・・《ケ~ス》

\(n=\sqrt{2024k}\) が整数となる条件は

\(k=2\times11\times23\times a^2\) ( \(a\) は自然数 ) のときである.

このとき \(n=2^2\times11\times23\times a=1012a\) より

\(n\) が \(4\) 桁の整数となるとき

\(n\) の最大値は \(a=9\) で \(n=9108\) ・・・《セ》

\(n\) の最小値は \(a=1\) で \(n=1012\) ・・・《ソ》

 

\(n=2^2\times11\times23\times a=1012a\) より

\(a\) が \(2\),\(11\),\(23\) 以外の数を素因数にもつとすると

\(n\) は少なくとも正の約数を

\((2+1)(1+1)(1+1)(1+1)=24\) 個持つこととなり,題意に反する.

ゆえに \(a\) は \(2\),\(11\),\(23\) のみを素因数にもつ数である.

\(a=2^p\times11^q\times23^r\) ( \(p\),\(q\),\(r\) は負でない整数 ) とおけるので

\(n=2^{p+2}\times11^{q+1}\times23^{r+1}\)

よって正の約数の個数は

\((p+3)(q+2)(r+2)=20\)

これを満たす負でない整数 \(p\),\(q\),\(r\) は

\((p,q,r)=(2,0,0)\) のみ

したがって,\(n=2^4\times11\times23=4048\) ・・・《ツ》

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