【2024立命館大学(全学統一)・文系】2024の素因数分解、√2024kの正の約数の個数が20個

【2024立命館大学(全学統一)・文系・第１問〔２〕】

(１)整数 $2024$ を素数の積で表すと，

$2024=$ 《ケ》×《コ》×《サ》×《シ》×《ス》となる．

ただし，《ケ》≦《コ》≦《サ》≦《シ》≦《ス》とする．

(２)　 $k$ を自然数とし， $n=\sqrt{2024k}$ とする．

$n$ が $4$ 桁の整数となるとき， $n$ の最大値は《セ》， $n$ の最小値は《ソ》である．また， $n$ の正の約数の個数が $20$ であるとき $n=$ 《タ》である．

正の約数の個数・総和の公式

自然数 $n$ の素因数分解が

$n=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times\cdots\times p_{k}^{a_{k}}$ のとき

ただし、 $p_{1}<p_{2}<\cdots<p_{k}$ を満たす素数、 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{k},k$ は自然数

正の約数の個数

$(a_{1}+1)(a_{2}+1)\cdots(a_{k}+1)$

正の約数の総和

$(1+p_{1}+p_{1}^2+\cdots+p_{1}^{a_{1}})(1+p_{2}+p_{2}^2+\cdots+p_{2}^{a_{2}})\cdots(1+p_{k}+p_{k}^2+\cdots+p_{k}^{a_{k}})$

$2024$ を素因数分解すると，

$2024=2\times2\times2\times11\times23$ ・・・《ケ～ス》

$n=\sqrt{2024k}$ が整数となる条件は

$k=2\times11\times23\times a^2$ ( $a$ は自然数 ) のときである．

このとき $n=2^2\times11\times23\times a=1012a$ より

$n$ が $4$ 桁の整数となるとき

$n$ の最大値は $a=9$ で $n=9108$ ・・・《セ》

$n$ の最小値は $a=1$ で $n=1012$ ・・・《ソ》

$n=2^2\times11\times23\times a=1012a$ より

$a$ が $2$ ， $11$ ， $23$ 以外の数を素因数にもつとすると

$n$ は少なくとも正の約数を

$(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)=24$ 個持つこととなり，題意に反する．

ゆえに $a$ は $2$ ， $11$ ， $23$ のみを素因数にもつ数である．

$a=2^p\times11^q\times23^r$ ( $p$ ， $q$ ， $r$ は負でない整数 ) とおけるので

$n=2^{p+2}\times11^{q+1}\times23^{r+1}$

よって正の約数の個数は

$(p+3)(q+2)(r+2)=20$

これを満たす負でない整数 $p$ ， $q$ ， $r$ は

$(p,q,r)=(2,0,0)$ のみ

したがって， $n=2^4\times11\times23=4048$ ・・・《ツ》