【2024東海大学・医学部・第２問】データの分析(平均値、分散、相関係数)と２次関数の最大最小

【2024東海大学・医学部・第２問】

解答・解説

$f(x)=\displaystyle\frac{1}{3}\left\{(12x+9)+(-6x+15)+(-3x+9)\right\}=x+11$ より

$f(0)=11$ ・・・《ア》

$g(x)=\displaystyle\frac{1}{3}\left\{(12x+9-f(x))^2+(-6x+15-f(x))^2+(-3x+9-f(x))^2\right\}$

$=62x^2-28x+8$ より

$g(1)=42$ ・・・《イ》

表１において金融商品Aのデータを $a$ ，金融商品Bのデータを $b$ とすると

$\overline{a}=\displaystyle\frac{1}{3}(9+15+9)=11$

$\overline{b}=\displaystyle\frac{1}{3}(21+9+6)=12$

$s^2_{a}=\displaystyle\frac{1}{3}\left\{(9-11)^2+(15-11)^2+(9-11)^2\right\}=8$

$s^2_{b}=\displaystyle\frac{1}{3}\left\{(21-12)^2+(9-12)^2+(6-12)^2\right\}=42$

$s_{ab}=\displaystyle\frac{1}{3}\left\{(9-11)(21-12)+(15-11)(9-12)+(9-11)(6-12)\right\}=-6$

したがって相関係数は $r=\displaystyle\frac{s_{ab}}{s_{a}s_{b}}=\displaystyle\frac{-6}{\sqrt{8}\sqrt{42}}=-\displaystyle\frac{\sqrt{14}}{21}$ ・・・《ウ》

(１)より $f(x)=x+11$

$y=f(x)$ は単調増加なグラフであるから， $0≦x≦1$ において

$x=1$ のとき最大値： $12$ ・・・《エオ》

(１)より $g(x)=62x^2-28x+8$ なので

$g(x)=62\left(x-\displaystyle\frac{7}{31}\right)^2+\displaystyle\frac{150}{31}$

$0≦x≦1$ において $x=\displaystyle\frac{7}{31}$ ・・・《カ》のとき最小値： $\displaystyle\frac{150}{31}$

$a≧\displaystyle\frac{1}{10}$ で

$h(x)=\left\{f(x)\right\}^2-ag(x)=(x+11)^2-a(62x^2-28x+8)$

これを整理すると

$h(x)=( -62a+1)x^2+(28a+22)x-8a+121$

$a≧\displaystyle\frac{1}{10}$ より $-62a+1<0$ なので $y=h(x)$ は上に凸の放物線となるため

$y=h(x)$ が $x=1$ で最大値となるのは

$y=h(x)$ の軸 $x=-\displaystyle\frac{28a+22}{2(-62a+1)}=\displaystyle\frac{14a+11}{62a-1}≧1$ を満たせばよい

$a≧\displaystyle\frac{1}{10}$ より $62a-1>0$ なので

$14a+11≧62a-1$ $\iff$ $a≦\displaystyle\frac{1}{4}$

したがって， $\displaystyle\frac{1}{10}≦a≦\displaystyle\frac{1}{4}$ ・・・《キ》