2022明治大学・情報コミ[Ⅳ]n^3+8nが2n+1で割り切れるn

(１)背理法の利用

『〇〇ない』ことを示せの形を見たら、１つの解法として背理法を！

つまり『○○できる』と仮定して、矛盾を導きましょう！

$n$ は $p$ で割り切れると仮定する．

条件から、$2n+1$ が $p$ で割り切れるので、自然数 $a$、$b$ を用いて、

$n=ap$ ・・・①

$2n+1=bp$ ・・・②

とおくことができる．

①を②に代入すると、$2ap+1=bp$

よって、$(b-2a)p=1$

$b-2a$ は整数であるから、$(b-2a,p)=(1,1),(-1,-1)$ のいずれかであるが、

これは $p$ が $2$ より大きな自然数であることに矛盾する．

したがって、$2n+1$ が $p$ で割り切れるとき、$n$ は $p$ で割り切れない．

(２)互いに素であることの証明について

(2)解答①：最大公約数が $1$ であることを示す

$n$ と $2n+1$ の最大公約数を $g>0$ とおく．

このとき、互いに素な自然数 $x$、$y$ を用いて

$n=gx$、$2n+1=gy$ とおける．

$n$ を消去すると、$2gx+1=gy$

よって、$(y-2x)g=1$

$y-2x$ は整数であるから、$g=1$

つまり、$n$ と $2n+1$ の最大公約数が $1$ となる．

したがって、$n$ と $2n+1$ は互いに素である．

(2)解答②：ユークリッドの互除法の利用

⏬の記事は類題演習になります。演習にどうぞ！

整数問題｜ユークリッドの互除法・最大公約数［入試問題演習］

合同式、ユークリッドの互除法を用いた入試問題演習。数学A・整数問題・良問

mathmathmanabu.com

2021.11.09

$2n+1=2\times n+1$ であるから、ユークリッドの互除法より、

$2n+1$ と $n$ の最大公約数は、

$n$ と $1$ の最大公約数に等しい．

つまり、$2n+1$ と $n$ の最大公約数は $1$

したがって、$n$ と $2n+1$ は互いに素である．

(３)　解答

$n^3+8n$ が $2n+1$ で割り切れるとき、整数 $c$ を用いて、

$n^3+8n=c(2n+1)$ とおける．

$n(n^2+8)=c(2n+1)$

(２)より、$n$ と $2n+1$ は互いに素であるから

$n^2+8$ は $2n+1$ の倍数となる．

$n^2+8$ を $2n+1$ で割ると、

$n^2+8=(2n+1)\left(\displaystyle\frac{1}{2}n-\displaystyle\frac{1}{4}\right)+\displaystyle\frac{33}{4}$

両辺を $4$ 倍すると、

$4(n^2+8)=(2n+1)(2n-1)+33$ ・・・③

ここで $2n+1$ は奇数であり、$4$ と $2n+1$ は互いに素であるから、 $n^2+8$ が $2n+1$ で割り切れることと、 $4(n^2+8)$ が $2n+1$ で割り切れることは同値である．

したがって③より、$33$ が $2n+1$ で割り切れることと同値である．

$n≧3$ より、$2n+1≧7$

つまり、$2n+1$ は $7$ 以上の奇数．

$33$ の約数のうち、 $7$ 以上の奇数は $11$ または $33$

したがって、$2n+1=11 , 33$

$n=5 , 16$