【2019久留米大学・医】
一般項が \(a_{n}=6^{n+2}+7^{2n+1}\) ( \(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) ) で表される数列 \(\left\{ a_{n} \right\}\) を考える．すべての自然数 \(n\) に対して，\({ a_{n} }\) が \(43\) で割り切れることを証明せよ．
数学Bの教科書例題に載っているような，数学的帰納法を用いる有名問題です。
ここでは数学的帰納法を利用した模範解答と，合同式を利用した別解を紹介します。
合同式を使いこなせると解答時間が大幅に短縮できます！合同式は整数問題において必須アイテムになりますので，しっかりと使いこなせるように演習を！
解法①数学的帰納法の利用
数学的帰納法
\(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\)(自然数) に対しての証明
⇒ 数学的帰納法を利用
(ⅰ) \(n = 1\) のとき命題が成立することを示す
(ⅱ) \(n = k\) のとき命題が成立すると仮定し、\(n=k+1\) のとき命題が成立することを示す
解答
\(a_{n}=6^{n+2}+7^{2n+1}\) が \(43\) の倍数 ・・・①
①を数学的帰納法を用いて証明する．
( ⅰ ) \(n=1\) のとき
\(a_{1}=6^3+7^3=559=43\times 13\) より①は成立する
( ⅱ ) \(n=k\) のとき①が成立すると仮定
つまり，整数 \(k\) を用いて
\(a_{k}=6^{k+2}+7^{2k+1}=43k\) ・・・② と表せる
このとき，
\(a_{k+1}=6^{k+3}+7^{2k+3}=6^{k+3}+7^2\cdot 7^{2k+1}\)
②より \(7^{2k+1}=43k-6^{k+2}\) より
\(a_{k+1}=6^{k+3}+7^2(43k-6^{k+2})\)
\(=6\cdot 6^{k+2}+49\cdot 43k-49\cdot 6^{k+2}\)
\(43(49k-6^{k+2})\)
\(49k-6^{k+2}\) は整数であるから，\(a_{k+1}\) は \(43\) の倍数
よって \(n=k+1\) のときも①は成立する
( ⅰ )，( ⅱ )よりすべての自然数 \(n\) について①は成り立つ
解法②合同式の利用
合同式について
mod 43 とすると
\(7^{2n+1}=7\cdot 7^{2n}=7\cdot 49^{n}≡7\cdot 6^{n}\)
であることを利用！
合同式は整数問題を扱う上で必須アイテムです！
不安がある方、未履修の方は
を参考に合同式についてマスターしましょう！
解答
以下 mod 43 として考える．
\(7^{2n+1}=7\cdot 7^{2n}=7\cdot 49^{n}≡7\cdot 6^{n}\) より
\(a_{n}=36\cdot 6^n+7\cdot 49^n≡36\cdot 6^n+7\cdot 6^n=43\cdot 6^n≡0\)
したがって，\(a_{n}\) は \(43\) で割り切れる．
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