【頻出】共面条件｜空間ベクトル(数学B)４STEP 125

【問題(4STEP数B125)】

四面体 \(OABC\) の辺 \(OA\) の中点を \(M\) , 辺 \(BC\) を \(2 : 1\) に内分する点を \(Q\) , 線分 \(MQ\) の中点を \(R\) とし，直線 \(OR\) と平面 \(ABC\) の交点を \(P\) とする．\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}\) とするとき，\(\overrightarrow{OP}\) を \(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{c}\) を用いて表せ．

考え方・方針の立て方
1. 共面条件
2. 方針の立て方について
解答

考え方・方針の立て方

共面条件

共面条件とは，異なる \(4\) 点が同一平面上に並ぶときの条件

（※ \(4\) 点が同一直線状であるときは除く）

\(4\) 点 \(A\)，\(B\)，\(C\)， \(P\) が同一平面上にあるとき

① \(A\) を始点として考える( \(k\)，\(l\) は実数 )

\(\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}+l\overrightarrow{AC}\)

② \(O\) を始点として考える( \(s\)，\(t\)，\(u\) は実数 )

\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OC}\) かつ \(s+t+u=1\)

【頻出】四面体の体積｜空間ベクトル(共面条件・垂直条件)

4点 O(0,0,0),A(1,2,0),B(3,0,4),C(0,1,1)でできる四面体OABCの体積の求め方。三角形のベクトルの最重要面積公式、共面条件、平面とベクトルの垂直条件(高さを求める)。数学B：空間ベクトル。平面の方程式、点と面の距離による別解。

方針の立て方について

点 \(P\) ってどんな点？？

ということを２通りで考えていきましょう！

点 \(P\) は

① 直線 \(OR\) 上，② 平面 \(ABC\) 上

ということですか？

① 直線 \(OR\) 上より共線条件

② 平面 \(ABC\) 上より共面条件

が使えるってことだよ！

※ 共線条件については「【2013京都大学】１次独立と共線条件・幾何(相似)を利用した別解」を確認してください！

点 \(P\) は

① 直線 \(OR\) 上

👉 実数 \(k\) を用いて，\(\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OR}\)

② 平面 \(ABC\) 上

👉 \(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OC}\) かつ \(s+t+u=1\)

解答

点 \(P\) は直線 \(OR\) 上より実数 \(k\) を用いて，

\(\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OR}\) ・・・① とおける．

点 \(R\) は \(MQ\) の中点より，

\(\overrightarrow{OR}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OQ})\) であり，

\(\overrightarrow{OM}=\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{OQ}=\displaystyle\frac{1}{3}(\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})\) より，

\(\overrightarrow{OR}=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{1}{3}(\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})\right\}\)

よって，\(\overrightarrow{OR}=\displaystyle\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{1}{6}\overrightarrow{b}+\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{c}\)

①より

\(\overrightarrow{OP}=\displaystyle\frac{k}{4}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{k}{6}\overrightarrow{b}+\displaystyle\frac{k}{3}\overrightarrow{c}\) ・・・②

点 \(P\) は平面 \(ABC\) 上より

共面条件②の利用！

\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OC}\) かつ \(s+t+u=1\)

\(\displaystyle\frac{k}{4}+\displaystyle\frac{k}{6}+\displaystyle\frac{k}{3}=1\)

よって，\(k=\displaystyle\frac{4}{3}\)

②より，\(\overrightarrow{OP}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{2}{9}\overrightarrow{b}+\displaystyle\frac{4}{9}\overrightarrow{c}\)