【頻出】共面条件｜空間ベクトル(数学B)４STEP 125

【問題(4STEP数B125)】

四面体 $OABC$ の辺 $OA$ の中点を $M$ , 辺 $BC$ を $2 : 1$ に内分する点を $Q$ , 線分 $MQ$ の中点を $R$ とし，直線 $OR$ と平面 $ABC$ の交点を $P$ とする． $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$ とするとき， $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{c}$ を用いて表せ．

考え方・方針の立て方
1. 共面条件
2. 方針の立て方について
解答

考え方・方針の立て方

共面条件

共面条件とは，異なる $4$ 点が同一平面上に並ぶときの条件

（※ $4$ 点が同一直線状であるときは除く）

$4$ 点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $P$ が同一平面上にあるとき

① $A$ を始点として考える( $k$ ， $l$ は実数 )

$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}+l\overrightarrow{AC}$

② $O$ を始点として考える( $s$ ， $t$ ， $u$ は実数 )

$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OC}$ かつ $s+t+u=1$

【頻出】四面体の体積｜空間ベクトル(共面条件・垂直条件)

4点 O(0,0,0),A(1,2,0),B(3,0,4),C(0,1,1)でできる四面体OABCの体積の求め方。三角形のベクトルの最重要面積公式、共面条件、平面とベクトルの垂直条件(高さを求める)。数学B：空間ベクトル。平面の方程式、点と面の距離による別解。

方針の立て方について

点 $P$ ってどんな点？？

ということを２通りで考えていきましょう！

点 $P$ は

① 直線 $OR$ 上，② 平面 $ABC$ 上

ということですか？

① 直線 $OR$ 上より共線条件

② 平面 $ABC$ 上より共面条件

が使えるってことだよ！

※ 共線条件については「【2013京都大学】１次独立と共線条件・幾何(相似)を利用した別解」を確認してください！

点 $P$ は

① 直線 $OR$ 上

👉 実数 $k$ を用いて， $\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OR}$

② 平面 $ABC$ 上

👉 $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OC}$ かつ $s+t+u=1$

解答

点 $P$ は直線 $OR$ 上より実数 $k$ を用いて，

$\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OR}$ ・・・① とおける．

点 $R$ は $MQ$ の中点より，

$\overrightarrow{OR}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OQ})$ であり，

$\overrightarrow{OM}=\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{OQ}=\displaystyle\frac{1}{3}(\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})$ より，

$\overrightarrow{OR}=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{1}{3}(\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})\right\}$

よって， $\overrightarrow{OR}=\displaystyle\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{1}{6}\overrightarrow{b}+\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{c}$

①より

$\overrightarrow{OP}=\displaystyle\frac{k}{4}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{k}{6}\overrightarrow{b}+\displaystyle\frac{k}{3}\overrightarrow{c}$ ・・・②

点 $P$ は平面 $ABC$ 上より

共面条件②の利用！

$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OC}$ かつ $s+t+u=1$

$\displaystyle\frac{k}{4}+\displaystyle\frac{k}{6}+\displaystyle\frac{k}{3}=1$

よって， $k=\displaystyle\frac{4}{3}$

②より， $\overrightarrow{OP}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{2}{9}\overrightarrow{b}+\displaystyle\frac{4}{9}\overrightarrow{c}$