OAとBC，OBとAC，OCとABが垂直で4つの面積が等しい四面体OABC⇒正四面体【2003京都大学】

【2003京都大学】

四面体 \(OABC\) は次の \(2\) つの条件

( ⅰ )　\(\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{BC}\) , \(\overrightarrow{OB}\perp\overrightarrow{AC}\) , \(\overrightarrow{OC}\perp\overrightarrow{AB}\)

( ⅱ )　\(4\) つの面の面積がすべて等しい

をみたしている．このとき，この四面体は正四面体であることを示せ．

考え方・方針の立て方
1. 条件( ⅰ )ベクトルで垂直⇒内積が \(0\)
2. 条件( ⅱ )ベクトルにおける面積公式
解答

考え方・方針の立て方

条件( ⅰ )ベクトルで垂直⇒内積が \(0\)

まず条件( ⅰ )において，ベクトルで垂直に関する条件があれば，内積が \(0\) になることを疑ってほしい！

\(\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{y}\) \(\iff\) \(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=0\)

条件( ⅱ )ベクトルにおける面積公式

最重要公式の１つです！この公式は分野問わずに使いこなせるように！

\(\triangle OAB=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OB}|^2-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})^2}\)

解答

\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) ,\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\) ,\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}\) とおく．

条件( ⅰ )より

\(\begin{cases}\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\\\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\\\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}-\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}=0\end{cases}\)

よって，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}\) ・・・①

次に，

\(\triangle OAB=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{a}\right|^2\left|\overrightarrow{b}\right|^2-\left(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right)^2}\)

\(\triangle OBC=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{b}\right|^2\left|\overrightarrow{c}\right|^2-\left(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\right)^2}\)

\(\triangle OCA=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{c}\right|^2\left|\overrightarrow{a}\right|^2-\left(\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}\right)^2}\)

より，条件( ⅱ )から

\(\sqrt{\left|\overrightarrow{a}\right|^2\left|\overrightarrow{b}\right|^2-\left(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right)^2}=\sqrt{\left|\overrightarrow{b}\right|^2\left|\overrightarrow{c}\right|^2-\left(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\right)^2}=\sqrt{\left|\overrightarrow{c}\right|^2\left|\overrightarrow{a}\right|^2-\left(\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}\right)^2}\)

①より，

\(\left|\overrightarrow{a}\right|^2\left|\overrightarrow{b}\right|^2=\left|\overrightarrow{b}\right|^2\left|\overrightarrow{c}\right|^2=\left|\overrightarrow{c}\right|^2\left|\overrightarrow{a}\right|^2\)

よって，\(\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|\) ・・・②

また①より，

\(\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \angle AOB=\left|\overrightarrow{b}\right|\left|\overrightarrow{c}\right|\cos \angle BOC=\left|\overrightarrow{c}\right|\left|\overrightarrow{a}\right|\cos \angle COA\)

であり②から

\(\cos \angle AOB=\cos \angle BOC=\cos \angle COA\)

よって \(\angle AOB=\angle BOC=\angle COA\) ・・・③

②，③より \(3\) つの側面 \(\triangle OAB\) , \(\triangle OBC\) ,\(\triangle OCA\) は互いに合同な二等辺三角形となる．

ゆえに，底面 \(\triangle ABC\) は正三角形となる．

次に，\(\triangle OAB\) と \(\triangle ABC\) について考えると，これらの三角形は底辺 \(AB\) を共有する二等辺三角形であり，条件( ⅱ )から面積が等しい．したがって高さがそれぞれ等しいため，この \(2\) つの三角形は合同となる．つまり，\(\triangle OAB\) は正三角形となる．

したがって，四面体 \(OABC\) は正四面体となる．