【2023慶應義塾大学・医学部・第１問(３)】
式 \(4z^2+4z-\sqrt{3}i=0\) を満たす複素数 \(z\) は \(2\) つある．それらを \(\alpha\)，\(\beta\) とする．ただし \(i\) は虚数単位である．\(\alpha\)，\(\beta\) に対応する複素数平面上の点をそれぞれ \(P\)，\(Q\) とすると，線分 \(PQ\) の長さは [ え ] であり，\(PQ\) の中点の座標は ( [ お ]，[ か ] ) である．また，線分 \(PQ\) の垂直二等分線の傾きは [ き ] である．
解答・解説
\(4z^2+4z-\sqrt{3}i=0\) の \(2\) 解を \(\alpha\)，\(\beta\) とすると
解と係数の関係から
\(\alpha+\beta=-1\)，\(\alpha\beta=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}i\) ・・・①
ここで，\((\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\) より
①から \((\beta-\alpha)^2=(-1)^2-4\times \left(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}i\right)=1+\sqrt{3}i\)
よって，\(|\beta-\alpha|^2=|(\beta-\alpha)^2|=|1+\sqrt{3}i|=2\)
したがって，\(PQ=|\beta-\alpha|=\sqrt{2}\) ・・・[ え ]
\(PQ\) の中点は \(\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}=-\displaystyle\frac{1}{2}\) より
\(\left(-\displaystyle\frac{1}{2},0\right)\) ・・・[ お，か ]
また，\((\beta-\alpha)^2=1+\sqrt{3}i=2\left(\cos\displaystyle\frac{\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\) より
\(\beta-\alpha=\sqrt{2}\left(\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}+i\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\)，\(\sqrt{2}\left(\cos\displaystyle\frac{7\pi}{6}+i\sin\displaystyle\frac{7\pi}{6}\right)\)
\(\beta-\alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}i}{2}\)，\(\displaystyle\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{2}\)
よって直線 \(PQ\) の傾きは \(\displaystyle\frac{\pm\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}{\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\) (複号同順)より
直線 \(PQ\) の垂直二等分線の傾きは \(-\sqrt{3}\) ・・・[ き ]
ルートの中に虚数単位 \(i\) を認めると解の公式に当てはめて
\(4z^2+4z-\sqrt{3}i=0\) \(\iff\) \(z=\displaystyle\frac{-2\pm\sqrt{4+4\sqrt{3}i}}{4}\)
\(\iff\) \(z=\displaystyle\frac{-2\pm(\sqrt{6}+\sqrt{2}i)}{4}\)
として考えても答えは求められます！
私大の場合は答えのみ求めれば良いのでこの解答でもOKだと思います！
ただ記述の場合、ルートの中に \(i\) があらわれるため，どのように採点されるかには不安が・・・。記述で使用する場合は自己判断で！
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