【2019京都大学】半径1の球面上の5点の四角錐の体積の最大｜微分

解答・解説

正方形 $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}$ の対角線の交点を $P$ ，

球の中心を $O$ とする．

底面の正方形 $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}$ を固定したとき，

四角錐 $AB_{1}B_{2}B_{3}B_{4}$ の体積が最大となるのは，

$3$ 点 $A$ , $O$ , $P$ がこの順で一直線上にあるときである．

このとき $OP=h$ とおく ( $0≦h<1$ )

$B_{1}P=\sqrt{OB^2_{1}-OP^2}=\sqrt{1-p^2}$ より

正方形の $1$ 辺の長さは，$\sqrt{2}\sqrt{1-p^2}$ であるから，

正方形 $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}$ の面積は

$\left(\sqrt{2}\sqrt{1-p^2}\right)^2=2(1-p^2)$

また，$AP=1+p$ より

四角錐の体積を $V$ とすると

$V=\displaystyle\frac{1}{3}\times 2(1-p^2)(1+p)$

$V=\displaystyle\frac{-2}{3}(p^3+p^2-p-1)$

$V^{\prime}=\displaystyle\frac{-2}{3}(3p^2+2p^2-1)=\displaystyle\frac{-2}{3}(p+1)(3p-1)$

$0≦p<1$ に注意すると

増減表より， $p=\displaystyle\frac{1}{3}$ のとき最大値は $\displaystyle\frac{64}{81}$