2乗の和の公式の証明｜Σk^2=1/6n(n+1)(2n+1)

解法その１．$(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ の利用

$(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ ・・・② とおく．

②の両辺に $n = 1 , 2 , 3 , \cdots , n$ を代入して両辺を加えると，

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left\{(k+1)^3-k^3\right\}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(3k^2+3k+1)}$ ・・・③

③の左辺について

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left\{(k+1)^3-k^3\right\}}$

$=(2^3-1^3)+(3^3-2^3)+(4^3-3^3)+\cdots+\left\{(n+1)^3-n^3\right\}$

$=(n+1)^3-1^3$

$=n^3+3n^2+3n$

③の右辺について

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(3k^2+3k+1)}$

$=3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(3k+1)}$

ここで，$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(3k+1)}$ は初項が $4$ , 末項が $3n+1$ , 項数が $n$ の等差数列の和であるから

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(3k^2+3k+1)}$

$=3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}+\displaystyle\frac{1}{2}n\left\{4+(3n+1)\right\}$

$=3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}+\displaystyle\frac{3}{2}n^2+\displaystyle\frac{5}{2}n$

したがって，

$n^3+3n^2+3n=3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}+\displaystyle\frac{3}{2}n^2+\displaystyle\frac{5}{2}n$

$3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}=n^3+\displaystyle\frac{3}{2}n^2+\displaystyle\frac{1}{2}n$

$=\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)$

よって，$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ が成立する．

解法その２．数学的帰納法の利用

( ⅰ )　$n=1$ のとき

①の (左辺) $= 1^3 = 1$ , (右辺) $= \displaystyle\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 2\cdot 3 = 1$

となり成立する．

( ⅱ )　$n=m$ のとき

①が成り立つと仮定する．つまり

$\displaystyle\sum_{k=1}^{m}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{6}m(m+1)(2m+1)$ ・・・② が成り立つ

②の両辺に $(m+1)^2$ を加えると

$\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{6}m(m+1)(2m+1)+(m+1)^2$

$=\displaystyle\frac{1}{6}(m+1)\left\{m(2m+1)+6(m+1)\right\}$

$=\displaystyle\frac{1}{6}(m+1)(2m^2+7m+6)$

$=\displaystyle\frac{1}{6}(m+1)(m+2)(2m+3)$

となり， $n=m+1$ のときも成立する．

( ⅰ )，( ⅱ )より，すべての自然数 $n$ において

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ は成り立つ．