【2021千葉大学】外接する３つの円と直線、等比数列・等比中項(a,b,cがこの順で等比数列)

(１)２つの円の位置関係

２つの円の半径を \(r\) , \(r^{\prime}\) ( \(r>r^{\prime}\) ) ，\(2\) 円の中心間の距離を \(d\) とする．

(１)　互いに外部にある

\(r+r^{\prime}>d\)

(２)　外接する(１点を共有する)

\(r+r^{\prime}=d\)

(３)　２点で交わる

\(r-r^{\prime}<d<r+r^{\prime}\)

(４)　内接する(１点を共有する)

\(r-r^{\prime}=d\)

(５)　一方が他方の内部にある

\(r-r^{\prime}>d\)

(１)解答・解説

円 \(A\) , \(B\) , \(C\) の中心の座標をそれぞれ \(A\) , \(B\) , \(C\) とし，またその各点から直線 \(l\) に下ろした垂線 \(AP\) , \(BQ\) , \(CR\) とする．

点 \(A\) から線分 \(BQ\) に下ろした垂線を \(AS\) とする．

\(2\) 円 \(A\) , \(B\) は外接するので，\(AB=a^2+b^2\)

また \(BS=BQ-SQ=BQ-AP=b^2-a^2\) であり，

直角三角形 \(ABS\) で三平方の定理から

\(AS=PQ=\sqrt{(a^2+b^2)^2-(b^2-a^2)^2}=2ab\)

同様に考え，\(QR=2bc\) , \(RP=2ca\) となる．

\(PQ+RP=QR\) より

\(2ab+2ca=2bc\)

\((b-a)c=ab\)

よって，\(c=\displaystyle\frac{ab}{b-a}\)

(２)等比中項

※ 数列 \(a\) , \(b\) , \(c\) が等差数列　\(\iff\)　\(2b=a+c\)

(２)解答・解説

数列 \(a\) , \(b\) , \(c\) は等比数列より

\(b^2=ac\) ・・・①

①と(１)より

\(b^2=a\cdot\displaystyle\frac{ab}{b-a}\)

式を整理すると

\(b^3-ab^2-a^2b=0\)

\(b(b^2-ab-a^2)=0\)

\(b>0\) であるから，

\(b^2-ab-a^2=0\) ・・・②

ここで，求める公比を \(r\) とおくと

\(b=ar\) ( \(r>1\) ) とおける．

②に代入すると

\(a^2(r^2-r-1)=0\)

\(a>0\) より \(r^2-r-1=0\)

\(r>1\) より

\(r=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)