【2021数学ⅠA(第1日程)】第３問(場合の数と確率)
(１)問題と解答・解説《ア〜シ》
解答・解説《ア〜シ》
( ⅰ ) 箱 A で当たりを引く確率は \displaystyle\frac{1}{2} ，
ハズレを引く確率は 1-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{2} より
3 回中ちょうど 1 回当たりを引く確率は
_{3}C_{1}\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2=\displaystyle\frac{3}{8} ・・・①《アイ》
箱 B で当たりを引く確率は \displaystyle\frac{1}{3} ，
ハズレを引く確率は 1-\displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{2}{3} より
3 回中ちょうど 1 回当たりを引く確率は
_{3}C_{1}\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{4}{9} ・・・②《ウエ》
( ⅱ ) A を選ぶ確率と B を選ぶ確率はともに \displaystyle\frac{1}{2} であるから，①，②より
P(A\cap W)=\displaystyle\frac{1}{2}\times \displaystyle\frac{3}{8}=\displaystyle\frac{3}{16} ・・・③
P(B\cap W)=\displaystyle\frac{1}{2}\times \displaystyle\frac{4}{9}=\displaystyle\frac{2}{9} ・・・④
よって，P(W)=P(A\cap W)+P(B\cap W)=\displaystyle\frac{3}{16}+\displaystyle\frac{2}{9}=\displaystyle\frac{59}{144} ・・・⑤
であるから，③と⑤より
P_{W}(A)=\displaystyle\frac{P(A\cap W)}{P(W)}=\displaystyle\frac{3}{16}\times \displaystyle\frac{144}{59}=\displaystyle\frac{27}{59} ・・・《オ〜ク》
また，④と⑤より
P_{W}(B)=\displaystyle\frac{P(B\cap W)}{P(W)}=\displaystyle\frac{2}{9}\times \displaystyle\frac{144}{59}=\displaystyle\frac{32}{59} ・・・《ケ〜シ》
P_{W}(B) については余事象を利用して，
P_{W}(B)=1-P_{W}(A)=1-\displaystyle\frac{27}{59}=\displaystyle\frac{32}{59}
と求めてもいいですね！
(２)問題と解答・解説《ス》
解答・解説《ス》
P_{W}(A) : P_{W}(B)=\displaystyle\frac{P(A\cap W)}{P(W)} : \displaystyle\frac{P(B\cap W)}{P(W)}=P(A\cap W) : P(B\cap W)=① : ② であるから，《ス：③》
(３)問題と解答・解説《セ〜テ》
解答・解説《セ〜テ》
箱 C において，3 回中ちょうど 1 回当たる確率は
_{3}C_{1}\left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2=\displaystyle\frac{27}{64} ・・・⑥ であるから，
①，②，⑥より
P(W)=P(A\cap W)+P(B\cap W)+P(C\cap W)
=\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{3}{8}+\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{4}{9}+\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{27}{64}
=\displaystyle\frac{1}{3}\times \left(\displaystyle\frac{3}{8}+\displaystyle\frac{4}{9}+\displaystyle\frac{27}{64}\right)=\displaystyle\frac{715}{3\times 9\times 64} ・・・⑦
したがって①と⑦より
P_{W}(A)=\displaystyle\frac{P(A\cap W)}{P(W)}=\left(\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{3}{8}\right)\times \displaystyle\frac{3\times 9\times 64}{715}=\displaystyle\frac{216}{715} ・・・《セ〜テ》
(４)問題と解答・解説《ト》
解答・解説《ト》
箱 D において，3 回中ちょうど 1 回当たる確率は
_{3}C_{1}\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)\left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^2=\displaystyle\frac{48}{125} ・・・⑧ であり，花子さんの考え(《ス》について) を用いると
P_{W}(A) : P_{W}(B) : P_{W}(C) : P_{W}(D) = \displaystyle\frac{3}{8} : \displaystyle\frac{4}{9} : \displaystyle\frac{27}{64} : \displaystyle\frac{48}{125}\\=0.375 : 0.444\cdots : 0.421\cdots : 0.384
であるから，可能性が高い方から順に並べると ⑧ B , C , D , A ・・・《ト》
コメント