【2013一橋大学・後期】eのπ乗とπのe乗の大小比較

解答・解説

\(f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}\) ( \(x>0\) ) とおく．

\(f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1-\log x}{x^2}\) より

\(f^{\prime}(x)=0\) とすると

\(\log x=1\) \(\iff\) \(x=e\)

よって，\(y=f(x)\) は \(x>e\) において単調減少なグラフとなる．

\(e<\pi\) より \(f(e)>f(\pi)\)

\(\displaystyle\frac{\log e}{e}>\displaystyle\frac{\log \pi}{\pi}\)

\(\pi\log e>e\log \pi\)

\(\log e^{\pi}>\log \pi^{e}\) であるから

\(e^{\pi}>\pi^{e}\)

\(a^b\) と \(b^a\) の大小については，

\(f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}\) のグラフを利用することで考えることができます！

頻出・有名入試問題ですので，流れを覚えておきましょう！！