正の数 \(a\)，\(b\)，\(c\) および正の角 \(A\)，\(B\)，\(C\) が
\(A+B+C=\pi\) ，\(\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\displaystyle\frac{b}{\sin B}=\displaystyle\frac{c}{\sin C}\)
をみたすならば
\(|b-c|<a<b+c\)
が成り立つことを示せ．
解答・解説
\(\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\displaystyle\frac{b}{\sin B}=\displaystyle\frac{c}{\sin C}=k\) とおくと
\(a=k\sin A\) ，\(b=k\sin B\) ，\(c=k\sin C\) であるから
\(b+c-a=k(\sin B+\sin C-\sin A)\) ・・・①
ここで，\(A+B+C=\pi\) より \(A=\pi-(B+C)\)
\(\sin A=\sin(\pi-(B+C))=\sin(B+C)\)
加法定理より，\(\sin(B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C\) なので
\(\sin A=\sin B\cos C+\cos B\sin C\)
①より
\(b+c-a=k(\sin B+\sin C-\sin B\cos C-\cos B\sin C)\)
\(=k\left\{\sin B(1-\cos C)+\sin C(1-\cos B)\right\}\)
\(0<B<\pi\) ，\(0<C<\pi\) より
\(k>0\) ，\(\sin B>0\) ，\(\sin C>0\) ，\(\cos B<1\) ，\(\cos C<1\) であるから
\(b+c-a>0\)
よって，\(b+c>a\)
同様に，\(c+a>b\) かつ \(a+b>c\)
\(\iff\) \(\begin{cases}b-c<a\\-(b-c)<a\end{cases}\) \(\iff\) \(|b-c|<a\)
したがって，\(|b-c|<a<b+c\)
コメント